D67对坐标曲线积分.ppt

,第七节（1）,二、对坐标的曲线积分的概念与性质,三、对坐标的曲线积分的计算法,四、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第六章,一、场的概念,一 数量场与向量场,分布着某种物理量的平面或空间区域称为场,如果这个物理量能用数表示，称为数量场,如果这个物理量用向量表示，称为向量场,如果这个物理量与时间有关，称为时变场,如果这个物理量与时间无关，称为定常场,函数,数量场(数性函数),场,向量场(矢性函数),如:温度场,电势场等,数量场的等值面,向量场的向量线,二、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,恒力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,1)“大化小”.,2)“常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3)“近似和”,4)“取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),2.定义.,设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.,称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数,极限,若 为空间曲线弧,记,称为对 x 的曲线积分;,称为对 y 的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3.性质,(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)用L 表示 L 的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,(3)若由闭合曲线C所围成的平面区域被划分为两个无公共内点的区域1和2，它们的边界分别记作C1，C2，那么沿闭合曲线C的第二型线积分等于按同一方向闭合曲线 C1和C2 的第二型线积分之和，即,其中曲线C、C1和C2 或者都取正向或者都取负向.,将上式两端同乘以-1，并利用性质2就有,三、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,特别是,如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,定理,14,例1,解,例2.计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数,则,解法2 取 y 为参数,则,从点,的一段.,例3.计算,其中 L 为,(1)半径为 a 圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取 L 的方程为,则,则,例4.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,例5,解,例6.设在力场,作用下,质点由,沿 移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中 为,例7.求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解:取 的参数方程,例8.已知,为折线 ABCOA(如图),计算,提示:,例9.质量为,的质点，从空间一点A沿某光滑曲线C,移动到另一点B，求重力所做的功W。,四、两类曲线积分之间的联系,两型线积分的异同,（1）第一型线积分无方向，第二型线积分有方向。,（2）第一型线积分是对弧长的积分，第二型线积分是对坐标的积分,（3）第一型线积分对应参数的下限小，上限大，第二型线积分对应参数的下限为起点，上限为终点,（4）第一型线积分用于求质量、质心、转动惯量等，第二型线积分用于求变力作功、引力场作功等。,（5）两类线积分的被积函数都定义在曲线上。,（6）两类线积分的计算都是化为定积分计算的。,例9.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,1.定义,2.性质,(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2)L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,原点 O 的距离成正比,思考与练习,1.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,(解见 P196 例5),备用题 1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.,沿直,2.设曲线C为曲面,与曲面,从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;,(2)计算曲线积分,解:(1),(2)原式=,令,利用“偶倍奇零”,