D65复合函数求导.ppt

,第五节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数及隐函数的求导法则,第六章,三、一个方程所确定的隐函数及其导数,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处可微,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,(全导数公式),若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,可微(偏导连续)减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,推广:,1)中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.,例如,例如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示 f(x,(x,y)固定 y 对 x 求导,表示f(x,v)固定 v 对 x 求导,口诀:,与,不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,例1.设,解:,例2.,解:,例3 设,求全导数,解:,解:,例4.,设,为简便起见,引入记号,例5.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1.,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,一个方程所确定的隐函数及其导数.,三 隐函数的求导方法,1)方程在什么条件下才能确定隐函数.,2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.,讨论:,1、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续导数,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,两边对 x 求导,若,则,简记为,则有推导公式,推广,求导,解,例7,x=0 时，,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数方程求导,求导,例8.设,解法1 利用隐函数方程求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,例9.,设F(x,y)具有连续偏导数,解法1 利用公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,解:,例10 设,求,法二：,求,设,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是中间变量,3.隐函数存在定理(了解),4.隐函数求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公式.,作业,P265 22(4)(5)(6)(8)(9),23(2)(4)(6);24；25,思考题,1.已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,2.,求,解:由题设,(考研),定理.若函数,处可微,在点 t 可导,则复合函数,证:设 t 取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u,v,(全导数公式),(t0 时,根式前加“”号),