D63一阶线性微分方程.ppt

,一阶线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,一、一阶线性微分方程,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量:,两边积分:,称为齐次方程;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求初值问题,的解.,解:,方程可变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常数变易法,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P341 1 单数；2 双数；3.,作业,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,