D62二重积分的计算第二部分.ppt

1,三、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D 为,2,即,3,设,则,特别,对,4,此时若 f 1 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),5,例7.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,6,例8.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,7,四、曲线坐标下二重积分的计算法,在2.3段中我们看到，运用极坐标变换有时候,可以使二重积分的计算简化,特殊的坐标变换,使用其它的坐标变换,坐标变换下计算二重积分的方法，也就是二重积分的,一般换元法,但是，极坐标只是一种,为了计算二重积分，有时候需要,下面我们来介绍在一般形式的,8,作变换,若以下三个条件满足,则称变换(2.13)为正则变换.,9,可以证明，在映射（2.13）的作用下，xoy坐标系下的二重积分与uov坐标系下的二重积分之间的关系为,10,11,例2.10,求,解 四条直线交点的坐标分别为,从上图中能看出,都要分成三部分，比较麻烦.,图6.21,不论先对 x 还是先对 y 积分,积分区域,所以可改用曲线坐标.,12,图6.22,13,14,例2.11,计算,解 由图6.23 可见,图6.23,如果我们用直角坐标直接计算,在此变换下,15,图6.23,16,17,例2.12,计算,解 由于积分域是椭圆,如果采用极坐标变换，,即,18,广义极坐标变换.,