D22函数的极限.ppt

对于函数 当考察它的变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况,如:,如图:,o,x,y,变化过程：特殊-一般,第二章,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第二节,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,定义1.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,2、几何解释:,记作,直线 y=A 为曲线,的水平渐近线.,A 为函数,1、定义,例1.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.,3、两种特殊情况(单侧极限),当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,（显然成立）,请记住这些结论!,二、自变量趋于有限值时函数的极限,先观察一个简单的例子。考察函数：y=x2 当x无限接近于1时的变化趋势。从图形中，我们看到当x趋向于1时，y就趋向于1，且x越接近1，y就越接近1，记作x 1时，y=x2 1。,再考察函数 当x无限趋近于1时（不等于1）的变化趋势。,从函数图形中看出，当x趋向于1时，y就趋向于2。,虽然函数在点x=1处没有定义，,但只要x 1时，y 2。,柯西,最早由柯西给出,1、精确定义(“”),定义2.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,2.几何解释:,注意：,例4.证明,证:,故,对任意的,当,时,因此,总有,例5.证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,例6.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,3.左极限与右极限,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,定理2.（极限的存在定理）,例7.给定函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理 2.,因为,显然,所以,不存在.,定理3.(唯一性)若 存在,则极限值 A 唯一.,其证明同上节.,定理4.(局部有界性)若 存在,则一定存在常数,其理论证明(略).直观地可几何意义说明.,三、函数极限的几个重要性质（下列性质对自变量的不同变化过程均成立）,保号性定理,定理5.若,且 A 0,证:已知,即,当,时,有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A 0),逆命题不成立,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,推论:,分析:,定理 6.若在,的某去心邻域内,且,则,证:用反证法.,则由定理5,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考:若定理6 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0,条件矛盾,故,子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义3,定理7.,有定义,有,定理7.,有定义,且,设,即,当,有,有定义,且,对上述,时,有,于是当,时,故,可用反证法证明.(略),有,证：,当,定理7.,有定义,且,有,说明:1、此定理常用于判断函数极限不存在.,法1 找一个数列,不存在.,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例8.证明,不存在.,证:取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理6 知,不存在.,例如,2、此定理也可用于求数列极限.,内容小结,1、函数极限的,或,定义及应用,2、函数极限的性质:,3、极限的重要性,（1）极限是一种思想方法，揭示了常量与变量，有限与无限的对立统一关系,从认识有限到把握无限,从了解离散到理解连续,从认识静态(不变的常量）来把握动态（变量）,（2）极限是一种概念,（3）极限是一种计算方法,微积分中许多概念是用极限定义的,许多物理、几何量、经济问题需要用极限来求,思考与练习,1.若极限,存在,2.设函数,且,存在,则,例3,是否一定有,？,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,