D16无穷小比较.ppt

1,第一章,二、无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,第六节,无穷小与无穷大,四、无穷小量的比较,2,当,一、无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小.,时为无穷小.,3,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,当,时,显然 C 只能是 0!,C,C,4,其中 为,时的无穷小量.,定理 1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,5,时,有,无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,6,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,7,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,8,二、无穷大,定义2.若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,9,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,10,例1.证明,证:任给正数 M,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,说明:,11,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理3.在自变量的同一变化过程中,说明:,12,四、无穷小量的比较,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,13,例2.求,解:,利用定理 2 可知,说明:y=0 是,的渐近线.,定义3.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如,当,时,又如，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例3.证明:当,时,证:,定理4.,证:,即,即,例如,故,定理5.设,且,存在,则,证:,例如,设对同一变化过程,为无穷小,说明:,无穷小的性质,(1)和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若=o(),(2)和差代替规则:,例如,例如,(3)因式代替规则:,界,则,例如,例4.求,解:,原式,例6.求,解:,内容小结,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,2.等价无穷小替换定理,常用等价无穷小:,