D10考研基础班.ppt
1,第十章 复习课,一、曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,线面积分的计算,曲线积分,曲线域,曲面域,曲面积分,2,定积分:,二重积分:,三重积分:,3,显然,4,(一)曲线积分的概念、性质与计算方法,(二)格林公式及其应用,一、曲线积分的计算法,(三)线积分的应用,5,（一）曲线积分的概念、性质与计算方法,(1)定义:,1.对弧长的曲线积分的概念、性质及计算方法,说明：,1)存在条件：,当f(x,y)在L上连续时,2)物理意义：,3)几何意义：,特别地：,4)推广:,6,例如.,求两个底半径相同的直交圆柱所围立体的表面积.,解:,如图,由第一类曲线积分的几何意义知:,其中,在第一象限的部分.,7,(2)性质,4)无向性：,对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.,即,8,2)积分弧段L的方程为：,则,3)积分弧段L的方程为：,则,(3)第一类曲线积分的计算方法(直接法),-三代一定,推广:设空间曲线弧的参数方程为,则,9,2.对坐标的曲线积分的概念、性质及计算方法,(1)定义:,常用组合形式:,记作,由实例和定义知:,10,说明：,1)存在条件：,在光滑曲线弧L上连续,时，,第二类曲线积分,2)特殊路径情况:,则,故定积分是第二类曲线积分的特例.,3)推广:,11,(2)性质,则,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,回忆定积分：,故定积分是第二类曲线积分的特例.,12,13,例.,设曲线L：,过第二象限内的点M 和第四象限内的点N,为L上,(B),(C),(D),具有一阶连续偏导数),(A),则下列小于零的是(),从点M到点N的一段弧，,B,2007研数一,14,(3)第二类曲线积分的计算方法(直接法),-二代一定,2)曲线弧L的方程为：,则,3)曲线弧L的方程为：,则,4)推广,则,15,3.两类曲线积分之间的联系,16,解:,例1.,分析:若,需要分段计算,较复杂.,注意到：关于x轴对称,被积函数关于y是奇函数.,计算第一类曲线积分的简化方法：,1)利用第一类曲线积分的几何意义.,2)利用第一类曲线积分的对称性.,3)利用第一类曲线积分的积分弧段的方程化简被积函数.,4.典型例题及解答,17,注：第一类曲线积分的对称性,18,例2.,解:,对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的，,在特殊情况下可用特殊方法处理.,要计算函数对弧长的,19,(09数学一),例3.,解:,20,提示:,原式=,说明:,1)若用参数方程计算,2)若用参数方程：,例4.计算,其中L为圆周,21,例5.计算,其中L 为沿抛物线,解法1:化为对x的定积分,则,解法2:化为对y的定积分，则,从点,的一段.,此例说明对坐标的曲线积分的对称性，还应考虑L的方向，故不好用.,22,(11年数学一,填空题),解:,23,（二）格林公式及其应用,其中L是D的正向边界曲线(有向性).,D是有界闭区域(封,在D上有一阶连续偏导数(连续性).,闭性),1.格林公式：,(1)格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广，,区域上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.,沟通了,注意：,(2)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有:,(3)对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部,边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向,24,2.格林公式的应用：,(2)简化计算曲线积分.,(1)利用曲线积分计算平面图形的面积.,闭区域D的面积,(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件.,(4)二元函数的全微分求积.,25,说明：,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,(1)在G内,(2)在G内存在,(3)在G内，,(4),在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的,一阶偏导数，,则以下四个命题等价.,1)四个等价命题,26,选择新路径应注意：,3)一般选与坐标轴平行的新路径.,1)新路径的起点与终点不变,2),27,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线后用格林公式或直接计算,(注意条件),28,例1.,L为由点(a,0)到(0,0)的上半圆周,解:,L,如图，,D,添加辅助线：,29,2.注意定理使用的条件:,说明：,有向性；,连续性；,封闭性.,(08数学一),(10数学一),30,例2.,的分段光滑的连续闭曲线，,L的方向为逆时针方向.,L,解:,记L所围的闭区域为D，,令,由格林公式知，,其中L为一无重点且不过原点,31,注意格林公式的条件:,作位于D内圆周,且 l 的方向取逆时针方向.,应用格林公式,得,有,32,解：,例3.,计算,为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线,其中L,因为,则,在 平面上成立.,33,选择如图所示的路径,选择新路径应注意：,3)一般选与坐标轴平行的新路径.,1)新路径的起点与终点不变,2),34,例4.,验证：在整个xoy平面内，,是某个函,数的全微分，,并求出它的一个原函数.,解：,这里,则在整个xoy平面内有：,于是,在整个xoy平面(它是一个单连通区域)内，,是某个函数的全微分，,由公式,线积分法,35,另解：,则所求的函数为：,事实上：,偏积分法,观察法,例4.,验证：在整个xoy平面内，,是某个函,数的全微分，,并求出它的一个原函数.,36,例5.已知曲线积分,无关,其中,解:,因积分与路径无关,故有,即,因此有,37,（三）线积分的应用,38,39,（1）变力 沿曲线 所作的功为：,（2）变力 沿曲线 所作的功为：,40,证：,41,解：,则,如何用斯托克斯公式计算？,42,(12数学一),
