chapter6线性转换.ppt
第六章線性轉換,6.1 線性轉換介紹6.2 線性轉換的核空間及論域空間6.3 線性轉換矩陣6.4 轉換矩陣及相似矩陣,6-1,6.1 線性轉換介紹,函數(function)函數T 映射一個向量空間到另一個向量空間,6-2,像、值域與反像,若向量v在向量空間V中，向量w在向量空間W中使得,則(1)w 稱為在 T 映射下 v 的像(image),(2)在 V 中所有向量的像的集合稱為 T 的值域(range),(3)在 V 中所有可以使得 的向量v的集合稱為向量 w 的反像(preimage),6-3,範例 1：從R2 映射到R2 的函數,(a)求 的像,(b)求 的反像,解：,6-4,線性轉換(linear transformation),6-5,注意：,(1)向量加法及純量乘法運算子無論在線性轉換之前或之後做運算均產生相同的結果,(2)從一個向量空間映射到自己本身的線性轉換 被稱為線性運算子(linear operator),6-6,範例 2：證明T是從R2映射到R2的線性轉換,證明：,6-7,故T為線性轉換,6-8,範例 3：非線性轉換的函數,6-9,注意：二個關於“線性”的觀念,(1)被稱作是線性函數(linear function)，因為它在圖形上是一條直線,(2)不是從向量空間R到R的線性轉換，因為它沒保有向量加法及純量相乘的特性,6-10,零轉換(zero transformation),相等轉換(identity transformation),定理 6.1：線性轉換的性質,6-11,範例 4：線性轉換與基底,令 為線性轉換，其使得,解：,(T為線性轉換),6-12,範例 5：矩陣定義的線性轉換,函數 被定義為,解：,(向量相加),(純量相乘),6-13,定理 6.2：矩陣之線性轉換,令A為一mn矩陣，函數T 被定義為,是一從Rn到Rm的線性轉換,注意：,6-14,所表示的線性轉換 具有將R2中的向量以原點為基準逆時針旋轉角度的特性,範例 7：平面的旋轉,證明矩陣,解：,(極座標表示法),r：v的長度：從正x軸以逆時針計算到v的角度,6-15,r：T(v)的長度+：從正x軸以逆時針計算到T(v)的角度,因此，向量T(v)和v有相同的長度，除此之外，從正x軸到T(v)的角度為+，也就是T(v)將使v逆時針旋轉度,6-16,稱作 R3上的投影運算子,範例 8：R3上的投影,下列矩陣表示的線性轉換,6-17,證明T是線性轉換,範例 9：從 Mmn 到 Mn m 的線性轉換,解：,因此，T是從Mmn到Mn m的線性轉換,6-18,摘要與復習(6.1節之關鍵詞),function:函數domain:論域codomain:對應論域image of v under T:在T映射下v的像range of T:T的值域preimage of w:w的反像linear transformation:線性轉換linear operator:線性運算子zero transformation:零轉換identity transformation:相等轉換,6-19,6.2 線性轉換的核空間及值域,線性轉換之核空間(kernel),令 為一線性轉換,則向量空間V中滿足 的所有向量所構成的集合稱為T的核空間，並記作ker(T),範例 1：求線性轉換的核空間,解：,6-20,範例 2：零轉換及相等轉換的核空間,(a)零轉換 的核空間包含了向量空間V中所有向量,(b)相等轉換 的核空間只包含了向量空間V中的零向量,範例 3：求線性轉換的核空間,解：,6-21,範例 5：求線性轉換的核空間,解：,6-22,6-23,定理 6.3：核空間為V的子空間,線性轉換 的核空間為V的子空間,證明：,注意：T的核空間亦可稱為T的零空間(null space),6-24,範例 6：求核空間的基底,6-25,解：,6-26,定理 6.3 的推論,線性轉換之值域(range),6-27,定理 6.4：T的值域為W的子空間,證明：,6-28,注意：,定理 6.4 的推論,6-29,範例 7：求線性轉換值域的基底,6-30,解：,6-31,線性轉換 T:VW的秩(rank),線性轉換 T:VW的核次數(nullity),注意：,6-32,定理 6.5：秩與核次數的和,證明：,6-33,範例 8：求線性轉換的秩與核次數,解：,6-34,範例 9：求線性轉換的秩與核次數,解：,6-35,一對一(one-to-one),6-36,映成(onto),6-37,定理 6.6：一對一線性轉換,證明：,6-38,範例 10：線性轉換的一對一與非一對一,6-39,定理 6.7：映成線性轉換,定理 6.8：一對一與映成線性轉換,證明：,6-40,範例 11：,解：,6-41,同構(isomorphism),定理 6.9：同構的空間及維度,證明：,6-42,6-43,範例 12：同構的向量空間,6-44,摘要與復習(6.2節之關鍵詞),kernel of a linear transformation T:線性轉換T的核空間range of a linear transformation T:線性轉換T的值域rank of a linear transformation T:線性轉換T的秩nullity of a linear transformation T:線性轉換T的核次數one-to-one:一對一onto:映成isomorphism(one-to-one and onto):同構isomorphic space:同構的空間,6-45,6.3 線性轉換矩陣,以矩陣表示線性轉換的三個理由,易寫易讀比較適用於電腦,線性轉換 T:R3R3 的二種表示法,6-46,定理 6.10：線性轉換的標準矩陣(standard matrix),6-47,證明：,6-48,6-49,範例 1：求線性轉換的標準矩陣,解：,6-50,注意：,檢查：,6-51,範例 2：求線性轉換的標準矩陣,解：,注意：(1)從Rn到Rm的零轉換的標準矩陣為mn的零矩陣(2)從Rn到Rn的相等轉換的標準矩陣為n階的單位矩陣In,6-52,T1:RnRm 與 T2:RmRp 的合成(composition),定理 6.11：線性轉換的合成,6-53,證明：,注意：,6-54,範例 3：合成的標準矩陣,解：,6-55,6-56,反線性轉換(inverse linear transformation),注意：若T為可逆，則其反轉換是唯一的且記作T1,6-57,定理 6.12：反線性轉換的存在,注意：若T為可逆且其標準矩陣為A，則T1的標準矩陣為A1,6-58,範例 4：求線性轉換的反轉換,解：,6-59,6-60,T 相對於基底 B 與 B 的轉換矩陣,T相對於基底B與B的轉換矩陣,6-61,非標準基底的轉換矩陣,6-62,6-63,範例 5：求一個相對於非標準基底的轉換矩陣,解：,6-64,範例 6：,解：,檢查：,6-65,注意：,6-66,摘要與復習(6.3節之關鍵詞),standard matrix for T:T 的標準矩陣composition of linear transformations:線性轉換的合成inverse linear transformation:反線性轉換matrix of T relative to the bases B and B:T對應於基底B到B的矩陣matrix of T relative to the basis B:T對應於基底B的矩陣,6-67,6.4 轉移矩陣及相似性,6-68,兩個從 到 的方法,6-69,範例 1：求線性轉換矩陣,解：,6-70,6-71,範例 2：求線性轉換矩陣,解：,6-72,範例 3：線性轉換矩陣,解：,6-73,相似矩陣(similar matrix)對於n階方陣A與A，若存在一可逆矩陣P使得則稱A相似於A,定理 6.13：相似矩陣的性質令A、B及C為n階方陣，則下列性質為真,(1)A相似於A,(2)若A相似於B，則B相似於A,(3)若A相似於B且B相似於C，則A相似於C,證明：,6-74,範例 4：相似矩陣,6-75,範例 5：兩個線性轉換矩陣的比較,解：,6-76,6-77,注意：對角矩陣 在計算上的優點,6-78,摘要與復習(6.4節之關鍵詞),matrix of T relative to B:T 相對於B的矩陣matrix of T relative to B:T 相對於B的矩陣transition matrix from B to B:從B到B的轉移矩陣transition matrix from B to B:從B到B的轉移矩陣similar matrix:相似矩陣,
