ch64现代功率谱估计.ppt
数字信号处理(Digital Signal Processing),信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地,离散随机序列的特征描述 平稳随机序列通过LTI系统 经典功率谱估计 现代功率谱估计,随机信号的功率谱估计,现代谱估计简介,问题提出平稳随机信号的参数模型AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的L-D递推算法AR模型参数与线性预测滤波器的关系伯格(Burg)递推算法,问题提出,经典法存在问题:,1.方差性能不好，不是Px(W)的一致估计,2.平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。,3.可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果,出现问题的原因:,将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。,参数模型法的基本思想,根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外的数据作出某种比较合理的假设。,假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出功率谱。,输入白噪声的自相关函数,平稳随机信号的参数模型,AR模型(AutoRegressive model),MA模型(Moving Average model),ARMA模型(AutoRegressive-Moving Average model),若输入白噪声的功率谱,则输出序列的功率谱为,若能确定模型中各参数an,bn和s2就可以求得功率谱Px(),平稳随机信号的参数模型,AR模型参数与自相关函数的关系,描述p阶AR模型的差分方程为,将上式两端同乘以yk-m再求数学期望,AR模型参数与自相关函数的关系,由于输入是白噪声信号 Rhn=s2dn,对于因果系统,p阶AR模型的自相关函数与模型参数的关系,Yule-Walker(Y-W)方程,AR模型参数与自相关函数的关系,Y-W 方程的矩阵表示,例:p=3 时的Y-W 方程,若已知Ryn，由Y-W方程解出各参数a3(1),a3(2),a3(3),s2。则可由AR模型参数获得功率谱Py()的估计值。,Y-W方程的L-D递推算法,一阶Y-W方程的解,解此方程得,Y-W方程的L-D递推算法,二阶Y-W方程的解,Y-W方程的L-D递推算法,p阶Y-W方程的递推解,Y-W方程的L-D递推算法,(1)计算自相关函数的估计值,(2)求解一阶模型参数关函数的估计值,L-D算法估计功率谱的步骤,(4)求出功率谱估计,Y-W方程的L-D递推算法,(3)由递推算法求解p阶模型参数,L-D算法估计功率谱的步骤,利用L-D算法估计频谱的MATLAB函数,x：进行功率谱估计的输入有限长序列；p:模型的阶数NFFT：DFT的点数；Fs：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；Pxx：功率谱估计值；f：Pxx值所对应的频率点,Pxx,f=pyulear(x,p,NFFT,Fs),例：利用L-D算法进行谱估计,一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，,利用L-D算法估计该序列的功率谱。,N=128;p=40;NFFT=2048;Fs=2;n=0:N-1;randn(state,0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n);P,f=periodogram(x,NFFT,2);Py,fy=pyulear(x,p,NFFT,2);subplot(211);plot(f,10*log(P);grid;title(Periodogram);axis(0 1-60 60);subplot(212);plot(fy,10*log(Py);grid;title(Yule);axis(0 1-60 60);,谱估计结果p=40,N=128,AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系,前向线性预测滤波器,前向预测误差,前向预测误差滤波器系统函数,例:前向线性预测(p=2),AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系,均方误差最小的前向预测误差滤波器,正交准则,若,则估计的均方误差达到最小。且,预测系数及均方误差的确定,AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系,后向线性预测滤波器,后向预测误差,后向预测误差滤波器系统函数,AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系,例:后向线性预测(p=2),预测系数及均方误差的确定,AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系,由,可得,比较前向预测系统和后向预测系统的方程后可得,系数a2(1),a2(2)满足的方程相同,Ab(z)=z-2A(z),伯格(Burg)递推算法,L-D算法缺点：,在计算相关函数估计时，对N个观测数据以外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。,伯格(Burg)递推算法基本思想：,直接从观测的数据利用线性预测器的前向和后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出AR模型的优化参数。,伯格(Burg)递推算法,前向预测误差的递推公式,2阶前向预测误差,1阶后向预测误差,L-D算法的递推公式,K2=a2(2)2阶预测器的反射系数,伯格(Burg)递推算法,预测误差的递推公式,一般地,同理可得后向预测误差的递推公式,Kp=ap(p)为p阶预测器的反射系数。,伯格(Burg)递推算法,预测误差滤波器的格形结构,伯格(Burg)递推算法,反射系数Kp 的确定,前向和后向均方预测误差的总和为,由,可得,伯格(Burg)递推算法步骤,(1)确定初始条件,(2)从p=1开始迭代计算:,计算AR模型参数,递推p阶均方误差,伯格(Burg)递推算法,(3)递推高一阶前、后向预测误差,(4)若阶数小于p，则阶数加1，回到步骤(2)进行下一次迭代，直到达到预定阶数p。,(5)估计功率谱,伯格(Burg)递推算法步骤,伯格(Burg)递推算法,Pxx,f=pburg(x,p,NFFT,Fs),Burg算法估计频谱的MATLAB函数,x：进行功率谱估计的输入有限长序列；p:模型的阶数NFFT：DFT的点数；Fs：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；Pxx：功率谱估计值；f：Pxx值所对应的频率点,利用Burg法进行谱估计程序,N=512;NFFT=1024;Fs=2;p=40;n=0:N-1;randn(state,0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.32*pi*n)+randn(size(n);P,f=pyulear(x,p,NFFT,2);Pw,f2=pburg(x,p,NFFT,2);subplot(211);plot(f,10*log(P);grid;title(L-D);axis(0 1-30 60);subplot(212);plot(f2,10*log(Pw);grid;title(Burg);axis(0 1-30 60);,AR模型阶数p=50 的谱估计结果,AR模型阶数p=80 的谱估计结果,
