CH53分部积分法.ppt

分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,跳转,设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数那么，两个函数乘积的导数公式为(u v)u v u v，移项得 u v(u v)u v 对这个等式两边求不定积分，得,这个公式称为分部积分公式,即,该公式还可以写为：,跳转,用法：,关键：选择要得当，,一般说来，下列函数：,等等的不定积分要应用分部积分法。,第一换元法是分部积分的基础,如何选取 是问题的关键。,例1 求积分,解（一）,令,解（二）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,练 习,例2 求积分,解:,例3 求积分,解,（再次使用分部积分法）,练 习,类型二：,若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为.,例4 求积分,解,练 习,类型三：,若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为.,例5 求积分,解,令,例6 求积分,解,若被积函数是指数函数和三角函数的乘积，设三角函数或指数函数是，都可以，但是切记不要来回换，设的函数要统一，很可能会出现循环，需要设所求得不定积分为一常数，解方程求结果.,但是由于指数函数的特殊性，通常设三角函数是，解题更加方便。,类型四：,例7 求积分,解,注意循环形式,说明:也可设,为三角函数,但两次,所设类型必须一致.,练 习,解,注意循环形式,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例8.求,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,例9.求,解:令,则,原式=,有些题，更多的是需要先运用第一、第二换元法，才能运用分部积分法。,例10.求,解:令,则,第二换元法+分部积分法,例11.求,解:令,则,原式=,解,例12.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,内容小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,练 习,思考题,在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,求积分,1.求,解:,原式,2.求,解:,原式,分析:,3.求,解:,原式,分部积分,4.设,解:,令,求积分,即,而,5.求,解:,