ch53基本积分法.ppt

一、凑微分法,例 计算,分析:,如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与,积分变量变得相同,那么就可用公式,求出此不定积分.,(u是x的函数),不同！,5.3 基本积分法,注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用,恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x),(可不必换元),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.,这种方法称为凑微分法.,其理论依据为,定理4,注：定理4中,若u为自变量时,当然有,当u 换为(x)时,就有,成立.,不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.,2、步骤：凑微分法的关键是“凑”,“凑”的目的是把不易计算的不定积分化为容易用“直接计算法”计算或查表计算的不定积分：,成立;,证：,（第3、4步可以省略）,1、公式：,常见的凑微分公式：,例8 求下列各式的不定积分,结论1:,例9 求下列各式的不定积分,结论2:,同理可得,例10 求下列各式的不定积分,结论3:,注：若被积函数的一部分(x)的导数是另一个因子（位于分子），,则可以这样凑微分：,或原式,同理可得,例11 求下列各式的不定积分,同理可得,结论4:,一般地,对形如,这样的不定积分,当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；,一般地,对形如,这样的不定积分,若nm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；,若同为偶，则化为,对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.,则化为 来积分,注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个常数.如,法一:,法二:,法三:,例12(1)设函数(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分,解 由题意知,则,(2)若己知,求：,课堂练习:求下列各式,注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换,二、第二类换元法,定理5 设函数(x)连续,x=(t)单调且有连续的导函数,而,证明,即,则,1、公式,注1 换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法(先凑后换元)不一样。重点不同，目标相同。,注2 求解步骤为：,2、注意,3、常用换元公式：,（1）.被积函数含有 的因子时,可令,化简函数后再积分.,例14 求下列各式,（2）.被积函数含有 的因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化.,t,a,x,例15 求下列各式,t,a,x,如图,t,a,x,（3）.倒代换 当被积函数的分母的次数与分子的次数之差大于1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子x.,例16 求,例17 求,法一:三角代换令,法二:根式代换令,法三:凑微分法,原式=,原式=,t,x,1,法四:倒代换令,注：通过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补充在基本积分表里：,定理5 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则,直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问,题;但对形如,等类型的不定积分,采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得,分部积分法.,证 由 d(uv)=vdu+udv,得 udv=d(uv)vdu,对此式两边同时求不定积分,得,1、公式,三、分部积分法,而不定积分 易计算,则可采用分部积分公式,使计算大为简化.,注1:不定积分 不易计算,例18 求,解(1)设u=lnx,dv=dx,则v=x,由分部积分公式得,2、步骤：,注2：如何正确地选定u和v却显得非常重要.一般说来要考虑以下三点:,积分容易者选作dv;求导容易者选作u;不可兼得时以前者为优先。,例19 求,否则若,比原积分更难积出.,例20 求下列不定积分,练习：,例21 求,这是一个关于 的方程,移项并两边同除以2,得,移项:,例22 求,解 令,注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用.,(4)设 f(x)有连续的二阶导函数，求,是f(x)的一个原函数,求,解,又已知,(5)已知,是f(x)的一个原函数,一般可用分部积分法求积分的类型:,