ch2极限与连续.ppt
第二章 极限与连续,2.1 数列的极限,2.2 函数的极限,2.3 无穷小量与无穷大量,2.4 极限的性质与运算法则,2.5 极限存在性定理与两个重要极限,2.6 函数的连续性,2.1 数列的极限,例如,数列是整标函数,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,例1,证,所以,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,例3,证,2.2 函数的极限,一、自变量趋向有限值时函数的极限,一、自变量趋向有限值时函数的极限,1,2,1,2,几何解释:,注意：,例1,证,函数在点x=1处没有定义.,单侧极限:,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例2,证,它是偶函数，图形关于y轴对称.,1,通过上面演示实验的观察:,几何解释:,例3,证,过 程,时 刻,从此时刻以后,2.3 无穷小量与无穷大量,四、无穷大量,一、无穷小量的概念,二、无穷小量的性质,三、无穷小量的比较,定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,一、无穷小量的概念,例如,注意：,（1）定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各种情形；,（4）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（2）无穷小需指明相应的变化过程。如,（3）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,定理 其中 是当 时的无穷小.,此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。,以上定理表明：“f(x)以A为极限”“f(x)与A之差f(x)-A为无穷小”该定理在今后的讨论证明中常会用到,二、无穷小的性质:,性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,性质2 在同一过程中,有限个无穷小之积仍是无穷小.,证,性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,都是无穷小。,是无穷小。,性质4 无穷小除以极限存在且不为零的函数仍是无穷小.,证,不妨假设A0.,三、无穷小的比较,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。,定义:,例如，,四、无穷大量,定义 在自变量的某一变化过程中，若函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为无穷大量,记作,若在自变量的某一变化过程中，函数f(x)(-f(x)无限增大，则称f(x)为正(负)无穷大量,记作,例如,注意：,（1）无穷大量的定义对数列也适用;,（3）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,（2）无穷大量需指明相应的变化过程。如,无穷小量与无穷大量的关系,在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.即,2.4 极限的性质与运算法则,一、极限的性质,二、极限的四则运算法则,一、极限的性质,性质1(唯一性)若极限limf(x)存在，则极限值唯一。,矛盾。故极限值唯一。,性质2(局部有界性)若极限l i m f(x)存在，则f(x)在x0的某空心领域内有界。,体会局部的含义，例如f(x)=1/x在0.001处局部有界,性质3(局部保号性)若极限l i m f(x)=A,A0(或A0(或f(x)0)。,同理可证A0的情形。,体会局部的含义，例如f(x)=x-1在1.001处局部保号,性质4 若极限l i m f(x)=A，且在x0的某空心领域内f(x)0(或f(x)0),则A 0(或A0)。,性质5 若极限l i m f(x)=A，l i m g(x)=B，且在x0的某空心领域内f(x)g(x),则A B。,上述性质对函数极限的其它情形及数列的极限也成立。,思考：将上述两个性质中的不严格不等号都改为严格不等号对吗？,例如：1/n1/n2，但是n时，二者极限相等,二、极限的四则运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,推论3,推论4,推论5,例1,解,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,例4,解,例5,解,要看清自变量变化趋势,例6,解,小结:,注意推广到数列情形,例7,解,先变形再求极限.,极限为0对吗?,错误！,2.5 极限存在性定理与两个重要极限,一、极限存在准则,二、两个重要极限,一、极限存在准则,1.夹逼定理,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,有界数列,准则 单调有界数列必有极限.,例2,证,(舍去),二、两个重要极限,(1),注：xsinx，(x0),例3,解,例4,解,注：xtanx，(x0),例5,解,注：1-cosxx2/2，(x0),例6,解,1,0,0,不存在,0,1,0,不存在,(2),类似地,例7,解,例8,解,用乘除凑解题更简单,例9 设一笔本金A0存入银行,年复利率为r,在下列情况下,分别计算t年后的本利和：a)一年结算一次；b)一年分n期计息,每期利率按r/n 计算；c)银行连续不断地向顾客付利息,此种计息方式称为连续复利.,解 a)一年结算一次时,一年后的本利和为A1=A0+A0r=A0(1+r),第二年后的本利和为A2=A1(1+r)=A0(1+r)2,依此递推关系,t年后的本利和为At=A0(1+r)t.,类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义.,b)一年结算n次,t年共结算nt次,每期利率为,则t年后的本利和为 t=A0(1+)nt.,c)计算连续复利时,t年后的本利和 t 为b)中结果 t在 时的极限,2.6 函数的连续性,一、变量的改变量,二、连续函数的概念,三、函数的间断点,四、连续函数的性质,五、闭区间上连续函数的性质,一、变量的改变量,二、连续函数的概念,定义1 设函数 在点 的某领域内有定义,如果当自变量的改变量 趋向于零时,对应的函数的改变量 也趋向于零,即 则称函数 在点 处连续,称 为 的连续点.,例2,证,例3,证,例4,解,如果函数在开区间(a,b)内每一点都连续,则称函数在在开区间(a,b)内连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,三、函数的间断点,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,例4中，x=0示跳跃间断点。,例如,四、连续函数的性质,1.连续函数的四则运算,2.复合函数的连续性,单调连续函数必有连续的反函数，且单调性不变.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,3.反函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,4.初等函数的连续性,均在其定义域内连续.,基本初等函数在定义域内是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,例5,例6,解,解,例7,解,例8,解,ln(1+X)X，X0,ex-1X，X0,例9,解,定理(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,五、闭区间上连续函数的性质,定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,例10,证,由零点定理,
