曲率函数图形的描绘.ppt
3.7 曲 率,弧微分,曲率及其计算公式,曲率圆与曲率半径,小结 思考题 作业,(curvature),(arc element),前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它等于单位路程上方向（角度切线的倾斜角）的改变量。,2,一、弧微分,规定,3,为了得出曲线 y=f(x)的曲率公式,先计算弧长函数s(x)对x的微分,称为弧微分.,4,单调增函数.,如图，,于是,弧 s,的增量为,那末,5,取极限,即,又,得,弧微分公式,为单调增函数,6,如将,代入公式,得,弧微分公式,可化为参数方程形式,如曲线以极坐标方程给出,如曲线为参数方程,写到根式内,得,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),弧段弯曲程度越大,转角越大,转角相同，弧段越短，弯曲程度越大,1.曲率的定义,),),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,8,例1,(1)直线的曲率,(2)圆上各点处的曲率,直线的曲率处处为零;,圆上各点处的曲率等于半径的倒数.,圆的半径越小曲率越大.,9,2.曲率的计算公式,10,(1),(2),例2,解,显然,11,例 3,的曲率最小？,t为何值时,曲线,求出最小曲率,写出该点的曲率半径.,解,要使K(t)最小,等价于,最大,故当,即,曲率最小,且,摆线,三、曲率圆与曲率半径,定义,13,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系:,过同一点,有公切线,圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同,14,例4 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25,因此,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长,y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得,15,四、小结,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,16,作业,习题3-7(175页),3.5.,图形描绘的步骤,作图举例,渐近线(asymptotic line),3.6 函数图形的描绘,18,中学就会求了.,若动点 P 沿着曲线 y=f(x)的某一方向无,限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离,趋于零,则称此直线 L 为曲线 y=f(x)的一条,渐近线.,一、曲线的渐近线,定义,1.铅直渐近线,铅直渐近线.,或,(垂直于x轴的渐近线),22,2.水平渐近线,水平渐近线.,或,(b为常数),(平行于x轴的渐近线),两种渐近线的定义,*3 斜渐近线,斜渐近线,若,(P75 题13),解,例1,解,例2,例.求曲线,的渐近线.,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,利用函数特性描绘函数图形.,确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性.,判定,和拐点,讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性,渐近线.,适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点.,特别注意,二、图形描绘的步骤,28,29,例,解,非奇非偶函数,三、作图举例,不存在,拐点,极小值,间断点,无斜渐近线.,列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:,30,作图,拐点,极小值,补充点,水平渐近线:,垂直渐近线:,解,极大,拐点,例,曲线无水平渐近线.,练习,解(1)函数的定义域为(3)(3),令f(x)0得x3 令f(x)0得x6(3)曲线性态分析表:,(4)曲线有铅直渐近线x=-3与水平渐近线y=1(5)特殊点的函数值 f(0)=1 f(-1)=-8 f(-9)=-8 f(-15)=-11/4,铅直渐近线为x=-3,水平渐近线为y=1 f(0)=1 f(-1)=-8 f(-9)=-8 f(-15)=-11/4,y=1,x=-3,(3,4),(-1,-8),(-9,-8),练习,解 函数性态分析表:,37,四、小结,利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、,最大值,最小值,凹的,凸的,单增,单减,极大值,拐点,极小值,非极值,不可导,极大值,地描绘图形的基础.,凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确,思考与练习,1.曲线,(A)没有渐近线；,(B)仅有水平渐近线；,(C)仅有铅直渐近线；,(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.,拐点为,凸区间是,2.曲线,的凹区间是,渐近线.,39,解答提示,1.曲线,(A)没有渐近线；,(B)仅有水平渐近线；,(C)仅有铅直渐近线；,(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,拐点为,凸区间是,2.曲线,的凹区间是,提示:,及,渐近线.,40,
