理论力学第六.ppt
第六章：分析力学,6.1 约束 自由度和广义坐标,力学系统：由相互作用着的质点所构成的系统，或称为力学体系或体系位形：力学系中各质点的位置状态称为力学系的位形。包含 n 个质点的力学系位形需要 3n 个坐标参量来确定,约束：在一个力学体系中，如若存在一些限制质点自由运动的条件，则这些限制条件称为约束（其表现为在运动过程中各质点位置和速度必须满足一定的关系）力学体系的约束可以表示为约束方程,若约束只是限制各质点的几何位置，则称为几何约束,若约束方程中还包含有速度变量，则称这种约束为微分约束,例如：a)长为 l 的刚性轻杆，一端被光滑铰链悬挂在 o 点，另一端与小球连接组成球面摆，在直角坐标系小球约束方程为,b)半径为 R 的车轮沿水平直线轨道无滑滚动，由于接触点速度为零，则约束方程为,不随时间变化的约束称为为稳定约束,若约束明显地随时间变化，则称为不稳定约束,对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，称为该系统的自由度对于具有n个质点的力学体系，若存在k个约束方程，则确定体系位形变化的3n个坐标参量中有s=3n-k个参量可以独立变化，其中 s 称为体系的自由度,自由度为4！,广义坐标：在给定的约束条件下能完全确定系统位置的一组独立变量称为系统的广义坐标,对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！,广义坐标的表示：广义坐标一般用符号 q 表示，如果系统有s个自由度，就需要 s 个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标,或,力学体系中每个质点的直角坐标都可以表示为广义坐标的函数，其变换关系称为坐标变换方程,如果选用 作为广义坐标,则坐标变换方程为：,系统状态由广义坐标和广义速度共同描述,6.2 虚功原理,（一）实位移和虚位移,质点在真实运动中的位移称为实位移，是由真实运动产生，与一定的时间相对应，由动力学方程、初始条件和约束方程确定。在时间dt之内，质点的实位移只有一个。,质点在满足当时约束条件下一切可能的无限小位移，称为该时刻质点的虚位移,质点的虚位移用 表示,虚位移和实位移的区别与联系,虚位移和实位移都必须满足约束条件！虚位移是在时间没有变化，即dt=0时所设想的位移，并不曾发生，有无穷多个可能性；而实位移则是在dt0时间内发生的真实位移,（二）理想约束和虚功原理,作用在质点上的力F与质点任一虚位移 的标积，称为此力在虚位移中的虚功,虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能量转化过程与之联系。对于处于平衡状态的体系，作用在各质点上的力（主动力和约束力）所做的虚功之和为0,若体系中各个约束力所做的虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束,光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约束，受这些约束的质点，约束力恒与相应的虚位移垂直!如两个质点（研究对象）被不可伸长的轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束，固定点约束等。,虚功原理：受理想约束的力学系统，保持平衡的必要条件是作用于该系统的全部主动力在任意虚位移中的虚功之和为零,在直角坐标系Oxyz中有,虚功原理是分析力学中解决静力学问题的基本原理，提供了解决各类力学体系（质点、质点组、刚体等）静力学问题的统一方法，有很大的普适性对虚功原理不是用静止的观点去解决静力学问题，而是采用变动的观点，在变动（虚位移）中寻找平衡的条件,虚功原理与牛顿力学不同，分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上，而是放在区分主动力和约束力上。虚功原理只涉及到主动力（外力和内力中的），而未知的约束力不会在虚功原理中出现。这是此原理的突出优点。对虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零，是对任意的虚位移而言的，不是针对特殊的虚位移。,（三）虚功原理的广义坐标表述和广义力,则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位移之间的存在关系,代入虚功原理的表达式可得,可写为,其中,称为广义力在方向 上的分量，所有这些力的分量构成的总体 则是作用在体系上的广义力,根据广义平衡方程,由于广义坐标是描写力学体系位形的独立参量，因此他们的虚位移变更也都分别相互独立，则虚功原理的广义坐标表述的物理意义为：体系处于平衡时广义力的各分量均为零（体系静平衡的广义平衡方程）,从上述s个体系的平衡方程可以解得体系处于平衡位形时未知的主动力！,例题,课本176，例题6.1，例题6.2,6.3 从牛顿力学到拉格朗日方程,（一）达朗贝尔原理,研究n个质点组成的体系，每个质点的运动都服从牛顿定律：,意义：如果把 当作作用在质点上的力看待，那么任何瞬时作用在体系中任意质点i上的主动力，约束力，和力 总是平衡的，质点的动力学方程转化为静力学方程，此平衡原则称为达朗贝尔原理,称为逆效力或达朗贝尔惯性力,以静制动!,达朗贝尔-拉格朗日方程,根据虚功原理，体系的静平衡条件为：,只考虑理想约束体系：,得到,在理想约束下，运动的每一瞬间系统所受主动力和逆效力的虚功之和为零,基本形式的拉格朗日方程,考虑n个质点组成的自由度为s的体系：,先证明下述两个恒等式,将坐标变分代入虚功原理,得到,定义广义力,由于s 个广义坐标的变分各自独立，得到,受理想约束的拉格朗日方程,有势系的拉格朗日方程,对于有势体系，广义力为,则拉格朗日方程变为,移项整理得,把 定义为拉格朗日函数，则拉格朗日方程变为,受理想约束的有势系的拉格朗日方程,循环坐标和广义动量积分,拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称为力学系的广义动量,若广义坐标 为线坐标，则 是线动量若广义坐标 为角坐标，则 是角动量,若某一广义坐标 在拉格朗日函数中不出现，则有,根据拉格朗日方程可得,则其所对应的第一积分为,在体系的拉格朗日函数 L内不出现的广义坐标，称为该体系的循环坐标，其所对应的第一积分为该循环坐标的广义动量积分,6.4 拉格朗日方程的应用,例题6.4：体现了拉格朗日方程在力学体系的运动时的优势,例题：一半径为r，质量为m 的小圆柱体沿一固定的半径为R 的圆柱面内表面做纯滚动，用拉格朗日方程求圆柱体在其平衡位置（最低点）附近做微振动的周期。,6.6 哈密顿函数和正则方程,n个质点组成的自由度为s的力学体系：,称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐标和广义动量的函数。,在稳定约束下，动能是广义速度的二次齐次函数,对于仅有两个广义坐标的系统：,则可得：,同理，对于具有s个广义坐标的力学体系有,在稳定约束情形下，哈密顿函数就是力学系的总机械能函数,系统的动能为广义速度的二次齐次函数时，哈密顿函数变为,对于不稳定约束系统：,考察在无限小时间变化内哈密顿函数的改变：,拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和时间的函数：,(1),(2),(3),将(2)代入(3)得：,(4),(5),对比（4）和（5）两式可得到下述方程组,称为哈密顿正则方程，其为力学系的运动方程，广义坐标和广义动量则称为力学系的正则变量.,例题：半径为r质量为M的均质圆盘,其盘心C处系一细绳并绕过滑轮O，绳的另一端系一质量为m的重物，圆盘在水平面上作纯滚动，不计滑轮质量。试用哈密顿正则方程求盘心的加速度及盘沿与地面的摩擦力（初始时刻m在O点处）。,解：体系的自由度为1，选取 为广义坐标，设圆盘做纯滚动的角速度为,体系的动能为,以O点为势能零点，则体系的势能为,则体系的拉格朗日函数为,则体系的哈密顿量为,(1),(2),代入正则方程有,将(2)代入（1），得,得到体系的运动学方程为,对于圆盘和重物系统由牛顿第二定律可得,则圆盘与底面的摩擦力为,用正则方程建议系统运动微分方程小结,1)确定自由度，选择广义坐标2)写出系统相对于惯性系的动能和势能，写出拉格朗日方程；求出广义动量，反解出广义速度；再代入H函数消去广义速度，使得H表达为广义坐标和广义动量的函数。4)将H代入正则方程，得出系统运动微分方程,
