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    平面图和五色定理.ppt

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    平面图和五色定理.ppt

    6.2 平面图和五色定理,a b c d f g h x k y a 1 b 1 c 1 2 d f 3 1 h x 3 1 k g 2 2 y,6.2 平面图和五色定理,定义 6.2.1 如果 能与这样的一个图 同构,其中 的顶点在同一个平面上,而 的边只能在端点处相交,就称 为平面图,而称 为 的一个平面嵌入,或称 为 在平面上的实现。,如图 和 就不具有这样的性质。,一、平面图的概念及性质,定义 6.2.2 平面图 的边把整个平面分割成若干各连通的区域,这些区域的闭包称为平面图 的面(包括外部无限区域,称为外部面)。分别用 和 表示 的面的集合和面的个数。,定义6.2.3 用 表示平面图 中围成面 的周界。用(或)表示围成面 的周界的边数,称为 的度。,推论 6.2.2 在任何平面图中,度为奇数的面的个数为偶数。,定理6.2.1 如果G 是平面图,则,问题:一个平面图的面数是否会随着这个平 面图的不同嵌入而改变?,定理6.2.3(Euler公式)设 是一个有 个顶点、条边和 个面的连通平面图,则,证明:对面数 进行归纳证明。由于 是连通的平面图,所以当 时,是树,因此。故 假设对于一切面数少于 的所有连通平面图,Euler公式成立。现假设 是一个有 个顶点、条边和 个面的连通图。由于,至少有一个回路,取这回路中的一条边,则 仍是连通平面图,有 个顶点,条边和 个面,根据归纳假设。即 证毕。,问题:对于非连通的平面图,其相应的点数、边数和面数有什么关系?,推论6.2.4若 是阶为 的平面图,的最短回路的长度为,则,证明:现在对 的每个面,由于假设,因此 由定理6.2.1知 不妨设该平面图是连通的平面图,则根据Euler公式,有 因此,有,推论6.2.4的一般情况:,对简单平面图,有由以上结论,容易验证 和 不是平面图,推论6.2.5 设 是简单平面图,则。,证明:反证 法。假设 是一个平面图,但,则 而对于简单平面图,有 矛盾。故对每一个简单平面图,有。,例:平面上有 个点,其中任意两个点之间的距离至少是1。证明在这 个点中,距离恰好为1的点对数至多是。,二、平面图与正多面体 凸多面体在平面上的投影是一个连通的平面图,因此Euler公式也适用于凸多面体。为此我们可以用Euler公式讨论正多面体。,正4-面体,正6面体,正8-面体,抽象化,抽象化,正12-面体,抽象化,正20-面体,定理6.2.6 存在且只存在5种正多面体:正四面体、正方体、正八面体、正十 二面体和正二十面体。,证明:首先一个正多面体在平面上的投影所得平面图是2连通的正则图,而且每个面的度相同,即为。设平面图 是 正则、每个面的度为,则,并且 即满足上式且至少为3的正整数 和 只有五对。(见下表),正4-面体,正8-面体,正6-面体,正12-面体,正20-面体,平面上看:,三、平面图的判别 我们可以利用 和 的非平面性来给出两个有关平面图的判别定理,找出一个图是平面图的充分必要条件的研究持续了几十年,直到1930年波兰数学家库拉托夫斯基(Kuratowski)给出了平面图的一个非常简洁的特征。,给定图的一个剖分是对图 实现有限次过程而得到的另一个图:即删去 的一条边 后,添一个新的顶点 及两条新的边、。也就是说在 的边上插入有限个顶点便可得到 的一个剖分。,定理6.2.7(Kuratowski 定理)图 是平面图当且仅当它的任何子图都不是 或 的剖分。,定理6.2.8(Wangner定理)一个图为平面图当且仅当它的任何子图都不能收缩 为 或。,可得Petersen图不是平面图。,四、五色定理的证明 我们将利用推论6.2.5的结论来证明每一个平面图的点色数不超过5,定理6.2.9 每一个平面图的色数不超过5。,证明:对平面图的顶点数 进行归纳。当 时,结论显然成立。不妨假设所给的平面图连通。归纳假设对顶点数为 的平面图结论成立,下设 是顶点数为 的简单图。设法证明。反证法:设。首先由推论6.2.5知,设,。作。此时 是阶为 的平面图,由归纳假设得。如果,只要将五种颜色分配给,即可得,矛盾,故。设已给 的顶点染五种颜色,使 中相邻顶点染以不同的颜色。,如果,可得矛盾。设 的五个邻点依次为。分两种情况:Case1 五个点所染颜色有相同的,只要将在没出现的颜色分配给,就有。矛盾。,Case2 五个点染得颜色各不相同。不妨设 分别染。让 为 的色划分。现考虑 的子图。如果在 中 与 不在 同一个连通分支中,则可以把 中含 的连通分支内的 与两种颜色互换,而 中其余颜色不变,就得到 的一个5染色。此时 与 同染 这种颜色,与假设矛盾。所以 与 在同一连通分支中,于是在 中存在一条 到 的路,同样考虑子图,在 中存在 到 的路。由路的构造可知,与 不相交(即无公共顶点)。,但在 中,回路 将 与 分隔在两个不同的区域内,而 是平面图,所以路 必与 相交于某个顶点。由于,因此 与 相交与某个顶点,矛盾。证毕。,一个非平面图G是不能嵌入在一个平面上的,但它可以分解为若干个平面图的并图,即存在若干平面图使,不妨设这些平面图 是 G 的生成子图,我们将这种平面图分解的最小个数称为 G 的厚度,记为,于是 当且仅当 是平面图。,五、非平面图的分解问题,定理6.2.10 设 是具有围长 的一个非平面图,则 其中 表示不小于 的最小整数。,证明:设非平面图 的厚度为,则存在平面图,使,这里 是 的生成子图。则每个生成子图 是围长至少为 的平面图,由推论6.2.4,有,故有,例1 对于那些n,存在n条棱的凸多面体?(1968年波兰数学奥林匹克试题),解:以多面体的顶点为图的顶点,以多面体的棱为图的边,组成一个平面图G,则,每个面的度至少是3。由Euler公式,即没有棱数小于6的凸多面体。,四面体是棱数为6的凸多面体。若有7条棱的凸多面体,则存在满足上述条件,的平面图,由Euler公式得:,但每个面的度数至少为3,故,即,但 为整数,所以。同样,于是,矛盾,因此,7条棱的凸多面体不存在。,现对,以k边形为底的棱锥即为2k条棱的凸多面体。若把底为k-1边形的棱锥中,底角处的一个三面角“锯掉一个尖儿”,得到的是一个2k+1条棱的凸多面体,总之,当 时,才有n条棱的凸多面体。,

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