滕州一中王洪涛.ppt

三.函数的周期性,函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.,例1 已知函数f(x)，对任意实数x，有下面四个关系式成立：（1）f(x)=f(x+a)（a为非零常数）；（2）f(x)=f(ax)（a为非零常数）；（3）f(ax)=f(bx)（a,b为常数且a2+b20）,【例题讲解】,（4）f(ax)=f(bx)(a,b为常数且a2+b20）其中使f(x)是周期函数的关系式是_,【解】考查（1），f(x)=f(x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：f(x)=f(x+a)=f(x+2a)等式（1）使f(x)是周期函数，且2a是周期；,考查（2），f(x)=f(ax)表明函数f(x)的图像关于直线 对称，这不一定能使其为周期函数；考查（3），f(ax)=f(bx)表明自变数相差ab时，函数值相等，即 f(x)=f(ab+x)等式（3）使f(x)是周期函数，且ab是周期,考查（4），f(ax)=f(bx)表明自变数相差ab时，函数值互为相反数，于是相差2（ab）时，函数值相等故（4）同（1），能使 f(x)为周期函数，且 2（ab）是周期 综上所述，应填（1），（3），（4）,例2 f(x)是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x(0，1)时，则f(x)在（1，2）上（A）是增函数，且f(x)0（B）是减函数，且f(x)0（C）是增函数，且f(x)0（D）是减函数，且f(x)0,【讲解】认识f(x)在（1，2）上的性质，可以把f(x)在（1，2）上的解析式求出来，或者由f(x)的性质去推断：,例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：因为f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm)f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：因为f(xm)f(xm)令xmt，则xmt2m于是f(t2m)f(t)对于tR恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：由已知f(x2m)f(xm)m,f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:4m是f(x)的一个周期.,证明：由已知f(x2m)f(xm)m,于是f(x4m)f(x),所以f(x)是以4m为周期的周期函数.,例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求证:2|ab|是f(x)的一个周期.(ab),证明：不妨设ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b)f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb)f(b(xb)f(x)2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期,例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004),解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x)f(x6)f(x)f(x)是以6为周期的周期函数20046334 f(2004)f(0)2004,例9 f(x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f(x+2)f(x)，且x0，1时，f(x)x，则f(x)在R上的解析式为,【解】f(x+2)f(x)，f(x+4)f(x+2)f(x)，f(x)是周期函数，4是周期 f(x)f(x)f(x+2)f(x)，f(x)的图像关于x1对称，由上述这些性质，及x0，1时，y=x，得知f(x)的图像如下：,其中斜率为1的线段过点（4m，0），其中斜率为1的线段过点（4m+2，0）,故解析式为,例10.已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0),证明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)为偶函数令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m=f(x2m)f(x)即T4m(周期函数),例11.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.,解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a),例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,试求满足f(a)a的所有整数a.,解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2,当x取任意正整数时，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即对任意大于1的正整数t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，进一步可得f(4)1,注意到f(x)f(x1)(x2)所以当x4时，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4时，f(x)x综上所述，满足f(a)a的整数只有a1或a2,(2),于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，记这个差为d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1)f(x1)f(x)d,即是说数列f(xn)是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数n成立，而对于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x)xR所以f(x)是周期为1的周期函数.,例14 设 f(x)的定义域为R，其图像关于直线 x2 和 x0对称，且x4，6时，f(x)2 x+1，那么在区间2，0上，f 1(x)的解析式为（A）ylog2(x4)（B）y4log2(x1)（C）y4+log2(x1)（D）ylog2(x1),【解】yf(x)的图像关于x0对称，f(x)f(x)，yf(x)的图像关于x2对称，f(x)f(4+x)于是有f(x)f(4+x)f(x)是周期为4的函数，当2x0时，0 x2且x+44，6,yf(x)的图像关于x0对称，f(x)f(x)周期为4，f(x)f(x+4)2x+4+1 即在 2，0上，yf(x)2x+4+1 2x+4y1 x+4log2(y1)x4log2(y1)2，0 上，f(x)4log2(x1)应选（B）,1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)2ba,2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x)f(x6)f(x),练习.1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.,2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1),f(0)2004，求f(2004),3.函数f(x)是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x0,2时，f(x)=|x-1|；当x2k,2k+2(kZ)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。,例15 已知，函数g(x)的图像与函数yf 1(x+1)的图像关于直线 yx 对称，则 g(5),【分析】很明显，g(x)是f 1(x+1)的反函数只要求出f 1(x+1)的反函数解析式，就得到g(x)，不难得到g(5)f 1(x+1)的反函数不是f(x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来,【解法2】yf(x)和f 1(x)的图像关于xy对称，当f 1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子”yx另一侧的“像”f(x)沿y轴负方向平移1个单位，于是 f 1(x+1)和f(x)1互为反函数 即g(x)f(x)1，下略,练习1已知函数，函数y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则g(11)的值为：A B1 C D,2已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f-1(x)，且函数y=f(x+1)的反函数为y=f-1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000),3.对于任意的,函数f(x)表示 x2-4x+3中的较大者,则求函数f(x)的解析式及f(x)的最小值.(f(x)min=2),例16 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1，a2，an 推出的a=_,【讲解】用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？依题意，这个最佳近似值a，应当使函数y(xa1)2+(xa2)2+(xan)2取最小值,【讲解】首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2x 要化为1sin2x，若再设tsinx，则y2t2+2mt+m24m+1，t1，1 问题转化为求闭区间1，1上的一个二次函数的最值问题 这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置,（1）0m2时，,当0m2时，这时，m0，取得最大值时，kZ,（2）2m0时，,当2m0时，这时，m0，取得最大值时，kZ,（3）m2 时，,当m2 时，这时，函数在 1，1 上递减，m2+4m40,解之，,且，取最大值时，kZ,例18 已知f(x)=x2+ax+b(a，bR)的定义域为1，1()记|f(x)|的最大值M，求证：；()求出()中的 时，f(x)的表达式,【讲解】已知条件是 x1，1 且|f(x)|M 像这样在一个区间上的所有各点都满足的性质，在各特殊点上依然成立 即|f(1)|1+a+b|M|f(0)|b|M|f(1)|1a+b|M,接下来就要考虑由形如M|m|的三个不等式能否构造出常数？或者构造出4M2？这自然想到绝对值不等式的性质：|x1|+|x2|+|xn|x1+x2+xn|于是，能否巧妙安排x1,x2,x3,x4使其和为2？另一个思路是,反证法,即若M,由三个不等式能否导出矛盾？,()【证法1】依题意x1，1时，总有|f(x)|M，因此有|f(1)|1+a+b|M2|f(0)|2b|2b|2M|f(1)|1a+b|M相加得|1+a+b|+|2b|+|1a+b|4M,|(1+a+b)+(2b)+(1a+b)|1+a+b|+|2b|+|1a+b|24M 即 M,由+得12+2b1即 与矛盾故 不能成立因此，,由，知，把 代入，得 a0，,再见,