2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列的综合应用.ppt

2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列的综合应用,数列的综合应用问题既能考查学生的潜能,又具有较强的区分度,创新应用问题选材也可以用数列为背景,在近几年的高考试题中,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式相关联,还可与三角、几何、复数等知识相结合,题目新颖,难度较大,对数学思想方法的运用和各种数学能力的要求较高,学生面对问题时的心理压力也较大.在复习中要重视紧扣等差、等比数列的性质和定义,做到合理地分析,灵巧地选择公式或性质,找到解决问题的突破口与思路,本节内容在高考中主要考查等差、等比的综合问,题,递推与求和的综合,数列与其他知识的综合,数列实际应用.数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合求解是对基础和能力的双重检验,而三者的证明题是近几年来高考热点.一般情况下,本节内容无论是选择题、填空题还是解答题中都是以中档题与难题为主,难度较大.,数列的综合应用通常有三种的类型,1.数列知识范围内的综合应用,(1)等差、等比数列以及递推数列之间的综合应用;,(2)紧扣等差、等比数列的定义和性质,作出合理的分析,灵巧地选择公式或性质解决问题.,2.数列的实际应用问题,(1)构造等差、等比数列的模型,然后利用数列的通项公式和求和公式求解;,(2)通过归纳得到结论,再用数列知识求解.,运用数列知识解决实际应用问题时,应在认真审题的基础上,认清问题的那一部分是数列问题,又是哪种数列(等差数列、等比数列)的问题,在a,d(或q),n,an,Sn中哪些量是已知的,哪些量是待求的,特别是,认准项数n为多少.充分运用“观察归纳猜想证明”的方法,建立等差(比)数列,递推数列的模型,再综合利用其他相关知识来解决问题.,3.数列与其他分支知识的综合应用,(1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角等高考重点知识的综合.,(2)解决有关此类综合问题时,首先要认真审题、弄清题意,分析出涉及哪些数学分支内容,在每个分支中各是什么问题;其次,要精心分解,把整个大题分解成若干个小题或若干步骤,使它们成为在各自分,支中的基本问题;最后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题的结论.,1.(2011年房山区期末)已知数列an的通项公式an=log2(nN*),设其前n项和为Sn,则使Sn-4成立的自然数n有(),(A)最大值15.(B)最小值15.,(C)最大值16.(D)最小值16.,【解析】由已知,Sn=log2+log2+log2+log2=log2,log2 15且nN*,n的最小值为16.,【答案】D,2.(2011年范水高中高三数学期末考试)某工厂的产量第二年比第一年增长的百分率是p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,若p1+p2=m(定值),则年平均增长的百分率的最大值是.,【解析】设年平均增长的百分率为p,可知(1+p)2=(1+p1)(1+p2)()2,1+p=1+,p,p的百分率的最大值是.,【答案】,3.(2011年石景山一模理14)函数y=x2(x0)的图象在点(an,)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,nN*,若a1=16,则a3+a5=,数列an的通项公式为.,【解析】由导数的几何意义可知,k=2x=2an,所以切线方程为y=2anx-,切线与x轴交点的横坐标0=2anan+1-,可得an+1=an.,a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a3+a5=5.,an+1=an,an是以16为首项,为公比的等比数列.,an=16()n-1=25-n.,【答案】525-n,4.某单位用3.2万元买了一台工作设备,已知该设备从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元(nN*),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止,一共使用了(),(A)600天.(B)800天.(C)1000天.(D)1200天.,【解析】由第n天的维修保养费为 元(nN*),可以得出整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=+,当且仅当=时取得最小值,此时n=800.,【答案】B,题型1等差数列与等比数列的综合题,例1(2011年浙江卷)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR),设数列的前n项和为Sn,且,成等比数列.,(1)求数列an的通项公式及Sn;,(2)记An=+,Bn=+,当n2时,试比较An与Bn的大小.,【分析】(1)抓住数列中的项的两重身份,由等比中项求出等差数列的公差,从而求出其通项公式与前n项和Sn.,(2)由(1)求出的通项公式,利用裂项相消法求An,利用公式法求Bn,利用二项式定理判断An与Bn的大小.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由()2=,得(a1+d)2=a1(a1+3d).,因为d0,所以d=a,所以an=na,Sn=.,(2)因为=(-),所以An=+=(1-).,因为=2n-1a,所以Bn=+=(1-).,当n2时,2n=+n+1,即1-1-,所以当a0时,AnBn;,当aBn.,【点评】等差数列、等比数列是两种特殊数列,在处理等差数列与等比数列的综合题时,要注意灵活运用它们的定义、性质,对于等比数列还要注意对公比的讨论.,变式训练1已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.,(1)求数列an的通项公式;,(2)若从数列an中依次取出第2项、第4项、第8项,第2n项,按原来顺序组成一个新数列bn,记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达式.,(2)由已知得,bn=22n+1=2n+1+1,Tn=b1+b2+bn=(22+23+2n+1)+n=+n=2n+2-4+n.,【解析】(1)依题意得 解得,an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.,题型2数列与函数、方程、不等式的综合应用,例2已知二次函数f(x)=x2-(m+2)x+m+2(xR)同时满足:不等式f(x)0的解集有且只有一个元素;在定义域内存在x1,x2,使得x1+x2=0,但f(x1)f(x2).设数列an的前n项和Sn=f(n).,(1)求f(x)的表达式;,(2)求数列an的通项公式.,【分析】由不等式f(x)0的解集有且只有一个元素,可得=0,再由Sn可得an.,【解析】(1)f(x)0的解集有且只有一个元素,=-(m+2)2-4(m+2)=0,m=-2或m=2.,当m=-2时,函数f(x)=x2是一个偶函数,故不存在x1,x2,使得x1+x2=0,且f(x1)f(x2).,当m=2时,函数f(x)=x2-4x+4,在定义域内存在x1,x2,使得x1+x2=0,且f(x1)f(x2),故f(x)=x2-4x+4.,(2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,当n=1时,a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5,an=,【点评】以函数知识为背景,以数列知识为辅,考查学生对知识的综合把握,符合高考题在知识的交汇处出题的特点.,变式训练2(江西省南康中学2011届下学期高三理科数学二轮专题复习)已知函数f(x)=(xR),点P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数f(x)图象上的两个点,且线段P1P2的中点P的横坐标为.,(1)求证:点P的纵坐标是定值;,(2)若数列an的通项公式为an=f()(mN*,n=1,2,m),求数列an的前m项Sm.,【解析】(1)由题可知:x1+x2=2=1,所以y1+y2=f(x1)+f(x2)=+,=.,点P的纵坐标yp=是定值,问题得证.,(2)由(1)可知:对任意自然数m,n,f()+f()=恒成立.,由于Sm=f()+f()+f()+f()+f()故可利用倒序求和的方法.,Sm=f()+f()+f()+f()+f(),Sm=f()+f()+f()+f()+f(),2Sm=f()+f()+f()+f()+f()+f()+2f()=(m-1)+2f(1)=(3m-1),所以Sm=(3m-1).,例3(2011年湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.,题型3数列在实际问题中的应用,(1)求第n年初M的价值an的表达式;,(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新,证明:须在第9年初对M更新.,【分析】分析理解题意,与等差、等比数列的定义相联系,注意分类讨论求数列的和,借助数列的单调性求范围.,【解析】(1)当n6时,数列an是首项为120,公差为-10的等差数列.,an=120-10(n-1)=130-10n,当n6时,数列an是以a6为首项,公比为的等比数列,又a6=70,所以,an=70()n-6.,因此,第n年初,M的价值an的表达式an=,(2)设Sn表示数列an的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得,当1n6时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n;,当n7时,Sn=S6+(a7+a8+an)=570+7041-()n-6=780-210()n6,An=,因为an是递减数列,所以An是递减数列,又,A8=82 80,A9=76 80,所以须在第9年初对M更新.,【点评】在实际问题中,常出现等差数列或等比数列模型,利用所学到的等差、等比数列的知识便可使问题顺利解决.数列是特殊的函数,从而常与函数的特性联系起来.,变式训练3某油库已储油料a吨,按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%,以后每年的进油量为上一年底储油量的25%,且每年运出b吨.设an为正式运营后第n年的储油量.,(1)写出an的表达式;(不要求证明),(2)为抵御突发事件,该油库年底储油量不得少于a吨,如果b=a,该油库能否长期按计划运营?如果可以,请加以证明;如果不行,请说明理由.(取lg 2=0.30,lg 3=0.48),【解析】(1)依题意,油库原有储油量为a吨,则,a1=a-b,a2=a1-b=()2a-(+1)b,a3=a2-b=()3a-()2+1b.,猜想:an=()na-()n-1+()n-2+1b,=()na-4()n-1b(nN*).,(2)当b=a时,该油库第n年年底储油量不少于a吨,即()na-4()n-1aa,即()n3,nlo 3=4.8.,所以不能长期运营.,1.等差、等比数列是基本数列,往往结合实际问题出题,并与递推公式相联系,主要应用函数与方程、分类讨论、化归、整体等思想来,解题.,2.在解数列应用题时,要重视建模的方法,将实际问题转化为数列问题.,3.探索型问题是高考数列题中的重要题型之一,该问题有两种形式:其一是不知结论,经过自己去探索、发现,从而得到结论.思维过程是:“观察分析归纳猜想证明”.其二是“存在性”问题,解题思路是:假设满足条件的对象存在,在此基础上,寻找出对象存在的条件,从而肯定假设;或推导出矛盾,从而推翻假设,得出结论.,