天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第八第新讲稿.ppt
1,平面应力问题的有限元法,第八章,2,8-1 弹性体的应力、位移与应变,考虑一三维弹性体，设材料均匀，各向同性。取无穷小dx,dy,dz,z,x,y,O,应力分量,复习：描述弹性体物体一点的应力、应变及位移的物理量,3,弹性体一点九个应力分量用矩阵表示如下：,其中剪力：,应力：,对于不同的问题比如：受力以及几何形状的特殊性，会造成应力分布出现特殊性。,4,位移分量：,z,x,o,y,描述三维空间中一点的位移应当有三个方向的物理量,结构受到的外力以及几何形状具有一些特殊性时，将会造成位移分布的特殊性。使得我们可以根据实际情况引入变形的一些假定条件。譬如：梁理论当中的平断面假定条件等。,5,应变分量,线应变,剪应变,可表示为：,或,x,y,z,dy,z,x,y,dy,O,O,6,8-2 平面应力问题及其基本方程式,平面应力问题,板只有xoy平面内分量且均与z坐标无关,1）几何特征：均匀薄板。即一个方向的尺度 远小于另外两个方向的尺度。2）受力特征：面积力外力均匀作用在板的周 边上且平行于xoy平面。体积力均作用于xoy平面之内。,3）应力分布的特点：,4）描述一点的位移及应变的分量：,求解平面问题及求解结构在受力后的应力、应变及位移共8个未知函数,一薄板，外力沿板厚均匀分布,7,求解弹性的基本方程,（1）静力平衡方程式（力与外力之间平衡关系）,（2）几何方程式（位移与应变之间的关系）,（3）物理方程式（应力与应变之间的关系）,（4）位移边界条件,（5）力的边界条件,8,求解平面问题的基本方程静力平衡方程式,如图，考虑一微块dx,dy，设板厚为1，作用有均匀体积力,x方向，与y方向方程式:,或：,以上二方程式称为“纳维叶（Navier)”方程式,y,x,o,dy,dx,Y,X,9,取平板边缘三角形微块，其外法线方向余弦为：,X向静力方平衡程式：,略去高阶微量后，得：,此式为“静力边界条件”,y,x,o,A,B,C,Y,X,N,py,px,求解平面问题的基本条件静力边界条件,10,如图：abcd变形前位置，,abcd为变形后位置,ab在xoy平面中转角为,略去与1比的微量，得,同理,a,b,c,d,y,x,o,dx,dy,求解平面问题的基本条件几何方程式,11,应变协调方程式为：,可得：,应变分量只有满足这个方程式才能保证弹性体变形的连续性在什么情况下使用该方程式？,又称为“柯西（Cauchy)方程式”,可得：,从数学角度，从力学角度分析上述方程。,与应力相对应的连续位移是否存在的充分必要条件,12,物理方程式（应力、应变间相互关系）,已知弹性体应力求应变,（1）,13,“弹性矩阵”,已知弹性体应变求应力,（2）,14,对于正交异性的弹性体,应力与应变关系为:,D为正交弹性体的正交矩阵,15,力的平衡条件,几何条件,变形协调条件,物理条件,力边界条件,位移边界条件,16,(1)弹性体在什么情况下成为平面应力问题(2)描述平面应力问题弹性体的基本物理量(3)求解平面应力问题的基本方程(4)求解平面应力问题的基本方法,17,基本指导思想：认为弹性体是有限个单元的组合体,有限元采用解题方法 位移法,8-3 解题方法及有限元法的概念,有限元的基本概念,结构的离散化,将连续的结构离散成有限个单元形成节点、边,（原结构）,（离散化模型）,18,离散后：位移：各单元仅在节点与其它单元连接 在单元边上保持位移连续最好，至少变形后相连。力：在单元内保持力的平衡条件、在单元间保持节点力的平衡 边界上满足边界节点上的位移边界条件 及相当的力的边界条件。,理想状态下：位移：离散节点前后各单元内及单元之间位移保持连续；力：在单元内及单元之间各处均应保持力的平衡条件 边界上满足一切位移及力的边界条件。,一般弹性体的结构离散与杆系结构离散的区别,19,设定单元的位移函数 该位移函数的特点：不是单元的真实位移,有限元采用解题方法位移法,基本未知量：节点的位移平面问题一个节点的位移自由度2个 节点力的个数2个,建立节点位移与节点力之间的关系（单元刚度矩阵）,解决问题的途径：李兹法（1）假设单元内部位移的形状函数（将节点位移作为待定参数）（2）利用虚功原理求出单元刚度矩阵,20,分布外力的移置 平面应力问题：体积力及面积力：求解这些外力的等效节点,建立节点力平衡方程式 形成类似矩阵法的节点力平衡方程式矩阵表达形式,约束处理求解节点位移,21,8-4 三角形单元的位移函数与刚度矩阵,节点位移与节点力,节点位移：,节点力：,o,22,位移函数,式中：,将三节点i,j,m坐标代入（1）式：,将单元内部位移用节点位移表示之,23,简记为：,其中：,（3）,24,位移矩阵,为三角形i,j,m面积,（4）,得,25,单元应变(几何矩阵）,用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：,或：,式中：,几何矩阵,用节点位移表达的单元应变,26,（2）,单元应变（用节点位移表示的单元应力）,根据虎克定律的矩阵表示式,应力矩阵,27,单元刚度矩阵（表示节点位移与节点力关系矩阵）,求解单元刚度矩阵的方法：虚功原理,基本公式：,给节点虚位移：,真实应变：,即：节点力在虚位移上所作的虚功=虚位移引起单元内部的虚应变能,单元上真实的节点位移：,真实应力：,相应的虚应变：,节点力在虚位移上所作的虚功：,虚位移引起单元内部的虚应变能,28,进行比较得：,将B、D代入上式：,式中,单元刚度矩阵：,分割子矩阵,对称、奇异、稀疏矩阵,29,位移函数与收敛准则,位移函数要在单元中连续，在边界上保持位移协调；位移函数应能包括单元的常位移（刚体位移）；位移函数必须能反映单元的常应变状态。,满足第一条件的单元称为“协调元”（compatible element)满足第二、三条件的单元称为“完备元”（complete element),收敛准则:,经严格证明协调、完备元随着网格的不断加密，其解是收敛的。完备非协调元同样收敛。,30,（1）三角形单元属于什么类型的单元？,三角形单元位移函数的讨论：,（2）三角形单元位移函数的假定：在同一个单元内应变及应力均为常数。对应力变化梯度较大的结构而言精度较差。,（3）在单元划分时应注意以下两点：疏密程度合理 三角形三个边长差别不易过大,（4）线性结构的单元N、B、S、K 与单元的位移函数及节点几何坐标位置有关。,31,8-5 结构刚度矩阵,本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平衡式，包括结构刚度矩阵的建立。,取出节点i，列出x,y方向力 的平衡方程式：,(1),(2),(1),(2),i,m,m,j,j,m,n,n,i,i,32,该结构共有两个单元，外力只作用于i节点之上。对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。其形式如下：,外力列阵，每一个节点有2行。应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力 及等效节点力。,各单元因节点发生可能位移而产生的节点力之合。可由各单元刚度矩阵依对号入座方式形成,其中：,33,式中Kij为单元刚度阵的子矩阵，上式可简记为：,K 结构总刚度矩阵,具有n个节点的结构,总节点力平衡方程式为：,注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。对称性、稀疏性、奇异性。行列个数2n,34,单元（1）i-j-m 1-3-4,例1：,划分4个单元,单元（2）i-j-m 1-2-3,单元（3）i-j-m 3-2-5,单元（4）i-j-m 4-3-5,(1),(2),(3),(4),3,35,列出各节点平衡方程式：,将各单元的刚度矩阵带入上式，并写成（1）的形式：即得总刚度矩阵：,36,8-6 外载荷处理,单元中分布力的移置单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算,（1）单元上体积力的等效计算 计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚 位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。,设：三角形平面单元受均匀分布力，其合力Q作用于形心处,37,外力作用下：,给节点i单位的虚位移：,有：,38,单元边界力的移置：,设:三角形单元的某边界有分布外力，其合力为Q，作用在B点，三节点等效力为 求如图：,令虚位移,得：,同理：,39,均布载荷,三角形载荷,梯形载荷,x,y,40,8-7 解题过程与例题,解题过程,结构的离散；计算单元的刚度矩阵计算结构总刚度矩阵建立外力矩阵约束处理求解节点位移计算单元应力支座反力计算和节点力平衡的检验,41,例题,例1 一悬臂梁，尺寸与受力情况如图（a）所示，将其离散为四个三角形组成的机构，其计算图形如图（b），求各节点的位移与各三角形的应力。,已知：L=100cm,板厚t=1cm,q=200N/mm(从而P=10 N),E=2105 N/mm,u=0.3,2,5,6,L,l,p,p,y,x,(3),(4),(1),(2),5,4,1,2,3,q,(a),(b),L,42,解：,（1）计算单元刚度矩阵：,当r=s=1时,求,1,3,2,50cm,100cm,43,同理,计及,故得,44,同理,45,计算总刚度矩阵,节点平衡方程式,46,求节点位移,同理(2),(3),(4)应力(N/mm2)为:,
