2013一维射影变换.ppt

一、一维射影坐标系,定义.在射影直线 l 上取定一个有序三点组 P*、P0、E，则称 P*,P0,E 为射影坐标系。直线 l 上任意一点 P 的非齐次射影坐标规定为,其中P0 叫原点，E叫单位点.,在这坐标系下，P0的非齐次射影坐标为0，E的非齐次射影坐标为1，P*没有非齐次射影坐标。,一维基本形的射影变换,如果把P*看成是无穷远点，则非齐次射影坐标就变成非齐次仿射坐标，此时,如果把P*看成是无穷远点，且P0E=1，则非齐次射影坐标就变成非齐次笛卡儿坐标，此时 x=P0P。,有了非齐次射影坐标系，就可定义齐次射影坐标系，P0的齐次射影坐标为(0,1)，E的齐次射影坐标为(1,1)，并规定P*的齐次坐标系为(1,0)。,二、一维射影变换,1、一维射影变换的定义,定义.一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换.,即若:,，且=，则称为一维基本形,上的一个一维射影变换。,一个一维射影变换可由不超过3次透视对应得到.,一维射影变换是特殊的射影对应.,一维基本形的射影变换,定理.在一维非齐次射影坐标系下，交比的表达式为,注记.交比的这个表达式与它在一维非齐次笛卡儿坐标系下的表达式一样。,2、一维射影变换的代数表示,(1).坐标表示,其中对应点的坐标是关于一维基本形上的同一坐标系取得的.,一维基本形的射影变换,b.齐次坐标表示,其中对应点的坐标是关于一维基本形上的同一坐标系取得的.,a.非齐次坐标表示,定理.一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素的参数,满足一个双线性方程,即在一维基本形上取定基元素AB,则对应元素为A+B A+B.,一维基本形的射影变换,(2).参数表示,三、一维射影变换的分类与性质,1、一维射影变换的分类,设有射影变换,若存在,使a02+(b+c)0+d=0,则称A+0B为的一个不变元素.,定理.在实-复射影平面上,任一个一维射影变换至少有一个不变元素.非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素.,证明 在(*)中,令=.则有一维射影变换的不变元素方程,立刻可得结论.据此可得一维射影变换的分类：,一维基本形的射影变换,2、一维射影变换的性质,(1).双曲型、椭圆型射影变换,定理.对于双曲、椭圆型射影变换，任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值，该定值称为双曲、椭圆型射影变换的特征不变量.,证明 设X,Y为两个不变元素,PP为任一对相异的对应元素.设X,Y,P,P的坐标依次为x,y,x+y,x+y.则这四元素的参数依次为0,1,.于是,从而,常数。,一维基本形的射影变换,(2).抛物型射影变换,定理.抛物型射影变换的不变元参数与任一对相异的对应元素的参数,满足,证明.,一维基本形的射影变换,要证明的式子等价于,令射影变换式为,所以是方程,的重根，因此有,因为是自对应元的参数，,代入射影对应式得,即,于是,是常数。,例1 设A,B,C为相异的共线点且有,求证：X=P.,证明.因为,A B C P Q R,B C A Q R X,(AB,CP)=,(BC,AQ)=,(CA,BR)=,(AB,CX).,所以,从而有X=P.,一维基本形的射影变换,例2 设P,P与 Q,Q为点列l(P)上射影变换的两对对应点,E是不变点,V,V是过E的直线l上任意两点.PVPV=P,QVQV=Q.求证：PQl=F为另一个不变点.,证明.如图有,所以,E,F为两个不变点.,一维基本形的射影变换,思考.已知P,P;Q,Q为点列l(P)上双曲型射影变换的两对相异的对应点，E为一个不变点,如何作的另一个不变点F？,例3.设点列l(P)上射影变换为抛物型的,E是不变点,P,P为一对相异的对应点,且(P)=R.求证：(EP,PR)=1.,证明.代数法.设E,P,P,R的参数依次为1,2,3,4.由抛物型射影变换的性质,有,由此二式，得,经过直接计算,得(EP,PR)=1.,一维基本形的射影变换,