量子力学版.ppt

1,量子力学,毛志彤江苏省江都市2011-2-10,2,课程简介,量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。本课程是物理学专业的专业必修课程之一。设置量子力学课程的主要目的是：使学生深入理解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动特性；掌握描述微观体系运动的方法，即量子力学的基本原理和方法；使学生了解量子力学的发展和在现代科学技术中的广泛应用。,3,目 的 要 求,深入理解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动特性。掌握基本概念、基本原理和解决实际问题的基本方法。初步掌握应用量子力学处理简单体系的方法。了解量子力学的发展和在现代科学技术中的广泛应用。,4,成绩评定和练习题,考核成绩由习题(15%)，期中考试(20%)，期末考试(65%)的加权平均值决定。课堂表现，进步，努力，和其他能力的展现(如:课程论文),都可以改变成绩。练习题是量子力学的一个非常重要的组成部分。我们要求每一个学习量子力学的学生都要尽自己最大的努力去尝试每个问题，然后再去和其他人进行讨论。“要勤奋地去做练习，只有这样，你才会发现，那些你理解了，哪些你还没有理解。”（A.Sommerfeld),5,教材和教学参考书,陈 洪，量子力学，中国科学文化出版，2003周世勋，量子力学教程，高教出版社，1979曾谨言，量子力学导论（第二版），北京大学出版社，2000曾谨言，量子力学教程，科学出版社，2003钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析（第二版），上、下册，科学出版社，1999张永德，量子力学，科学出版社，2002曾谨言，量子力学（第三版），卷I、卷II，科学出版社，2000咯兴林，高等量子力学，高教出版社，1999L.D.Landau and E.M.Lifshitz,Quantum Mechanics(Nonrelativistic Theory)(2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965（非相对论量子力学，人民教育出版社中译本，1980）L.I.Schiff,Quantum Mechanics(3rd edition),McGraw-Hill,New York,1986,6,第一章 量子力学的诞生 7第二章 波函数和Schrodinger方程 39第三章 一维定态问题 99第四章 量子力学中的力学量 158第五章 态和力学量表象 271第六章 近似方法 337第七章 量子跃迁 397第八章 自旋与全同粒子 445,目 录,7,第一章 量子论基础,1.1 黑体辐射与Plank的量子论1.2 光电效应与Einstein的光量子1.3 Compton效应与光的量子性1.4 原子结构与Bohr的量子论1.5 de Broglie的物质波,返回,8,1.1 黑体辐射与Plank的量子论,黑体：能吸收射到其上的全部辐射而无反射的物体这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.,黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。,辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等。,实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的频率的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。,9,能量密度:热平衡时单位体积内的能量单位频率间隔内的能量密度:()d是空腔内在频率+d之间的辐射能量密度,维恩公式(Wein,1894),(紫外灾难),普朗克公式(M.Plank,1900.12.14),瑞利金斯公式(J.W.Rayleigh,1900,J.H.Jeans,1900.6),10,普朗克能量子假说：原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡.辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值，存在着能量的最小单元(能量子 h)n=nh,n=1,2,3,黑体只能以 E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。从经典Boltzmann统计,可得出:,c=3 108 m 光速h=6.38510-34 Js Plank常数.目前值 h=6.62559(16)10-34 Js,11,对 Planck 辐射定律的二点讨论：,（1）当 很大（短波）时，因为 exp(h/kT)-1 exp(hv/kT)，于是Planck 定律 化为 Wien 公式。,（2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv/kT)-1 1+(h v/kT)-1=(h v/kT)，则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。,12,1.2 光电效应,光电效应的实验规律,饱和光电流强度与入射光强度成正比。或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比。,相同频率，不同入射光强度,13,光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。,截止电压的大小反映光电子初动能的大小,截止电压与入射光频率有线性关系,14,经典理论的困难,经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率有关而与光强无关。只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。而经典认为有无光电效应不应与频率有关。瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间，即需能量的积累过程。,15,A.Einstein认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 h的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 c 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。,当光照射到金属表面时，能量为 h的光子被电子所吸收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：,光电效应方程,光子概念,上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到了正确的说明。,16,光子的动量,光子不仅具有确定的能量 E=hv，而且具有动量。根据相对论知，速度为 v 运动的粒子的能量由右式给出：,对于光子，速度 v=c，欲使上式有意义，必须令 0=0,即光子静质量为零。,根据相对论能动量关系：,把光子的波动性和粒子性联系了起来,17,1.3 Compton散射 光的粒子性的进一步证实,虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学院院士的推荐信中。“总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念”Compton散射曾经被认为是光子概念以及Plank-Einstein关系的判定性实验。早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验结果,18,康普顿散射的实验规律：,1、散射线波长的改变量随散射角增加而增加。2、在同一散射角下 相同,与散射物质和入射光波长无关。3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。,19,经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把 X-射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应容易得到理解,定性解释,根据光量子理论，具有能量 E=h 的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E=h 显然有 E E,从而有,散射后的光子的频率减小，波长变长。,相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守恒，即：,定量解释,20,并利用相对论中能量动量关系式,可得：,（3）,代入式（7），可解出,（4）,或,21,（7）,由式（7）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。式(5)中也包含了 Planck 常数 h，经典物理学无法解释它，Compton 散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。,22,Compton散射实验还证实：在微观的单个碰撞事件中,动量及能量守恒定律仍然是成立的.,波长与电子的康普顿波长相同,并与实验观测一致.,这个结论在后来发现的“正负电子对湮灭”现象中也得到了证实.安德逊（C.D.Andersun,1932）在宇宙射线中观察到正电子,其质量与电子相同,电荷则同值异号.一个正电子在经过物质时将与原子碰撞而失去大部分能量,逐渐减速,然后可能被某个原子捕获,最后与一个一道湮灭.在适当的条件下,也可能与一个形成与氢原子类似的电子偶素,然后才湮灭.,电子对湮灭时,考虑到动量守恒,至少要产生两个光子.e-e+n,n=2,3,在产生两在个光子的情况下,两光子的动量数值相同,但方向相反.设产生的光子角频率为,则按能量守恒,有(m为电子静质量),23,1.4 玻尔(N.Bohr,1913)的量子论,玻尔理论建立的基础,1)卢瑟福(E.Rutherford,1911)原子核式模型,2)普朗克爱因斯坦光量子论,1909年盖革和马斯顿(H.Geiger,E.Marsden)粒子大角散射(铂的薄膜靶),里德伯方程,24,玻尔的三条基本假设:1.定态条件:原子核外电子处于一些不连续的定常的状态,而这些定态相应的能量是分立的.2.频率条件:原子在与能级En和Em(令En Em)相对应的两个定态之间跃迁时,吸收或发射的辐射的一定频率的光.,普朗克爱因斯坦量子论认为,光的频率与光的能量联系在一起,E=h.玻尔当时从他的学生那儿得知了关于氢原子光谱线的经验表达式,使他获得了其理论“七巧板中的最后一块板”.,25,3.对应原理：在大量子数极限下,量子体系的行为将趋向与经典力学体系相同.玻尔根据对应原理的思想,得出了一个角动量量子化条件:,氢原子相邻能量状态(nn-1)的跃迁所发射光子的频率为：,在n很大时(n1),26,27,量子化条件的推广,由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则为广义坐标。考虑积分并利用 Bohr 提出的量子化条件，有,索末菲将 Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，,这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（Li，Na，K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。,28,玻尔理论的成功 玻尔理论不仅解决了原子的稳定性问题,且可求出氢原子中电子的轨道半径和能级.根据玻尔理论,不仅从理论上给出了氢原子可见光谱中观察到的巴耳末线系和红外光谱的帕邢线系,且预言在紫外区存在另一个线系.这个预言在1914年即被莱曼的观测所证实.原子的有分立能级的概念也在1914年为弗兰克赫兹的实验直接证实.玻尔还建议把天文上观测到的与氢原子光谱规律很相似的皮克(E.C.Pickering于1896年在船橹座星的光谱中发现的)线系解释为He+的光谱.在此之前,A.Flower在实验室中也观测到此线系.玻尔理论提出后,Evans重新仔细做了此实验,证明玻尔的看法是完全正确的.爱因斯坦称赞玻尔的这个预言是“最伟大的发现之一”.这对 人们承认玻尔的理论起了很大作用.,29,玻尔理论面临的困难 虽然成功地解释了氢原子光谱的规律性,但不能解释复杂原子光谱,甚至对有两个电子的氦原子光谱也无能为力.对光谱学中的另一个观测量,即谱线的强度,它虽然借助于对应原理也得到了一些有价值的结果,但却不能提供系统的解决办法.不能指出原子能级之间的跃迁哪些能观察到,而哪些跃迁不能观察到.只能处理简单的周期运动,不能处理非束缚态问题.,究其原因,玻尔理论是经典力学加上与之不相容的量子化条件的产物,并未从根本上解决不连续性的本质.玻尔理论面临的所有这些困难和局限性推动着理论的进一步发展,而量子力学正是由此迎运而生的.,30,1.5 德布罗意的物质波,德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。,法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。,德布罗意(due de Broglie,1892-1960),31,1、De Broglie 关系 de Broglie通过光与实物粒子的对比分析，提出了实物粒子（静质量 m 不等于 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动-粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：,32,2、de Broglie 波,因为自由粒子的能量 E 和动量 p 都是常量，所以由de Broglie 关系可知，与自由粒子联系的波的频率和波矢k（或波长）都不变，即是一个单色平面波。由力学可知，频率为，波长为，沿单位矢量 n 方向传播的平面波可表为：,写成复数形式,de Broglie 关系：=E/h=2=2E/h=E/=h/pk=1/=2/=p/,这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为 de Broglie 波,33,1、戴维逊-革末实验,戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G.P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。,3、电子衍射实验,实验装置：,34,实验现象：实验发现，单调地增加加速电压，电子探测器的电流并不是单调地增加的，而是出现明显的选择性。例如，只有在加速电压U=54V,且=500时，探测器中的电流才有极大值。,实验解释：,当加速电压U=54V，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为,X射线实验测得镍单晶的晶格常数d=0.215nm,理论值(=510)与实验结果(=500)相差很小，表明电子电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。,35,2、汤姆逊实验,1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。,1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。,3、电子通过狭缝的衍射实验 1961年，约恩孙(Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm，缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。,36,照片是crommie1993年发表的，在高度光洁的单晶铜表面，蒸镀一层铁原子，这层铁原子构成了一层平展如镜的电子表面。而后把48个铁原子一个个挪到这层镜面表面，形成一个完美的圆形围栏。这些铁原子围栏，就变成阻拦圈内电子运动的“势阱”墙壁，解二维圆势阱薛定谔方程，可以得到势阱内波函数，取其平方便是势阱内电子分布密度,37,38,周世勋量子力学教程：1.2、1.4 曾谨言量子力学导论：1.1、1.3,作 业,39,第二章 波函数和 Schrodinger 方程,1 波函数的统计解释 2 态叠加原理 3 力学量的平均值和算符的引进 4 Schrodinger 方程 5 粒子流密度和粒子数守恒定律 6 定态Schrodinger方程,返回,40,1 波函数的统计解释,（一）波函数（二）波函数的解释（三）波函数的性质,41,3个问题？,描写自由粒子的平 面 波,如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：,描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。,称为 deBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。,(1)是怎样描述粒子的状态呢？,(2)如何体现波粒二象性的？,(3)描写的是什么样的波呢？,（一）波函数,返 回1,42,（1）两种错误的看法,1.波由粒子组成,如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。,这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。,电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。,O,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。,43,2.粒子由波组成,电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。,44,1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;,我们再看一下电子的衍射实验,2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,45,结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。,r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在 r 点附近的几率。,在电子衍射实验中，照相底片上,46,据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。,假设衍射波波幅用(r)描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用|(r)|2 描述，但意义与经典波不同。,|(r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，确切的说，|(r)|2 x y z 表示在 r 点处，体积元x y z中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，,47,（三）波函数的性质,在 t 时刻，r 点，d=dx dy dz 体积内，找到由波函数(r,t)描写的粒子的几率是：d W(r,t)=C|(r,t)|2 d，其中，C是比例系数。,根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：,（1）几率和几率密度,在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：(r,t)=dW(r,t)/d=C|(r,t)|2 称为几率密度。,在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：W(t)=V dW=V(r,t)d=CV|(r,t)|2 d,48,（2）平方可积,由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：C|(r,t)|2 d=1,从而得常数 C 之值为：C=1/|(r,t)|2 d,这即是要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值平方可积的函数。,若,|(r,t)|2 d,则 C 0,这是没有意义的。,49,（3）归一化波函数,这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。,(r,t)和 C(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：,由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即(r,t)和 C(r,t)描述同一状态,可见，(r,t)和 C(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。,50,归一化常数,若(r,t)没有归一化，|(r,t)|2 d=A（A 是大于零的常数），则有|(A)-1/2(r,t)|2 d=1,也就是说，(A)-1/2(r,t)是归一化的波函数，与(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一化因子。,注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若(r,t)是归一化波函数，那末，expi(r,t)也是归一化波函数（其中是实数），与前者描述同一几率波。,51,（4）平面波归一化,I Dirac 函数,定义：,或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数 f（x）有：,函数 亦可写成 Fourier 积分形式：,令 k=px/,dk=dpx/,则,性质：,52,II 平面波 归一化,写成分量形式,t=0 时的平面波,考虑一维积分,若取 A12 2=1，则 A1=2-1/2,于是,53,三维情况：,其中,注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。,54,作 业 补 充 题,55,2 态叠加原理,（一）态叠加原理（二）动量空间（表象）的波函数,56,（一）态叠加原理,微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。,57,考虑电子双缝衍射,=C11+C22 也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：|2=|C11+C22|2=(C1*1*+C2*2*)(C11+C22)=|C1 1|2+|C22|2+C1*C21*2+C1C2*12*,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项 正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。,一个电子有 1 和 2 两种可能的状态，是这两种状态的叠加。,58,其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。,态叠加原理一般表述：若1，2,.,n,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加=C11+C22+.+Cnn+.(其中 C1,C2,.,Cn,.为复常数)。也是体系的一个可能状态。处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于2态.，部分的处于n，.,一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加=C11+C22 也是该体系的一个可能状态.,59,例：,电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量 p 运动。具有确定动量的运动状态用deBroglie 平面波表示,根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即,而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。,p,60,（二）动量空间（表象）的波函数,(r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p,t)是以动量 p 为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；二者描写同一量子状态。,波函数(r,t)可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。,展开系数,令,则 可按p 展开,61,若(r,t)已归一化，则 C(p,t)也是归一化的,62,63,3 力学量的平均值和算符的引进,（一）力学量平均值（1）坐标平均值（2）动量平均值（二）力学量算符（1）动量算符（2）动能算符（3）角动量算符（4）Hamilton 算符,64,（一）力学量平均值,在统计物理中知道，,当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。,65,（1）坐标平均值,为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设(x)是归一化波函数，|(x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则,对三维情况，设(r)是归一化波函数，|(r)|2是粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为,（2）动量平均值,一维情况：令(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为,66,（二）力学量算符,简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。,（1）动量算符,既然(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(px)一 一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用(x)表示出来。但是(x)不含px变量，为了能由(x)来确定动量平均值，动量 px必须改造成只含自变量 x 的形式，这种形式称为动量 px的算符形式，记为,67,一维情况：,68,比较上面二式得两点结论：,而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：,三维情况：,69,由归一化波函数(r)求 力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在*(r)和(r)之间,对全空间积分，即,F 是任一 力学量算符,70,（2）动能算符,（3）角动量算符,71,（4）Hamilton 算符,72,作 业 补充题,73,4 Schrodinger 方程,（一）引（二）引进方程的基本考虑（三）自由粒子满足的方程（四）势场 V(r)中运动的粒子（五）多粒子体系的Schrodinger方程,74,这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方程之后得到了圆满解决。,微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：,(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。,（一）引,75,（二）引进方程的基本考虑,从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。,让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。,（1）经典情况,76,（2）量子情况,3第三方面，方程不能包含状态参量，如 p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,1因为，t=t0 时刻，已知的初态是(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间 的一阶导数。,2另一方面，要满足态叠加原理，即，若1(r,t)和2(r,t)是方程的解，那末。(r,t)=C11(r,t)+C22(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含,对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。,77,（三）自由粒子满足的方程,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E。将对坐标二次微商，得：,将上式对 t 微商，得：,(1)(2)式,78,满足上述构造方程的三个条件,讨论：,通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式 E=p2/2 写成如下方程形式：,做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3）。,(1)(2)式,返回,79,（四）势场 V(r)中运动的粒子,该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为波动方程。,若粒子处于势场 V(r)中运动，则能动量关系变为：,将其作用于波函数得：,做（4）式的算符替换得：,80,（五）多粒子体系的 Schrodinger 方程,设体系由 N 个粒子组成，质量分别为 i(i=1,2,.,N)体系波函数记为(r1,r2,.,rN;t)第i个粒子所受到的外场 Ui(ri)粒子间的相互作用 V(r1,r2,.,rN)则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：,81,多粒子体系 Hamilton 量,对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用：,而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：,假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。,例如：,82,5 粒子流密度和粒子数守恒定律,（一）定域几率守恒（二）再论波函数的性质,83,（一）定域几率守恒,考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即:,在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：,84,证：,考虑 Schrodinger 方程及其共轭式：,取共轭,85,在空间闭区域中将上式积分，则有：,闭区域上找到粒子的总几率在单位时间内的增量,J是几率流密度，是一矢量。,所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。,令 Eq.（7）趋于，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.（7）变为：,其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同,使用 Gauss 定理,单位时间内通过的封闭表面 S 流入（面积分前面的负号）内的几率,86,讨论：,表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。,（1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。,同理可得量子力学的电荷守恒定律：,表明电荷总量不随时间改变,87,（二）再论波函数的性质,1.由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即:d(r,t)=|(r,t)|2 d 2.已知(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。,（1）波函数完全描述粒子的状态,（2）波函数标准条件,1.根据Born统计解释(r,t)=*(r,t)(r,t)是粒子在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求(r,t)应是 r,t的单值函数且有限。,88,式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。,2.根据粒子数守恒定律:,89,（3）量子力学基本假定 I、II,量子力学基本假定 I 波函数完全描述粒子的状态,量子力学基本假定 II 波函数随时间的演化遵从 Schrodinger 方程,90,6 定态Schrodinger方程,（一）定态Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质,91,（一）定态Schrodinger方程,现在让我们讨论 有外场情况下的定态 Schrodinger 方程：,令：,于是：,V(r)与t无关时，可以分离变量,等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t,r 无关的常数,92,该方程称为定态 Schrodinger 方程，(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻(r,0)的定态波函数。,此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率=2E/h。由de Broglie关系可知：E 就是体系处于波函数(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数(r,t)称为定态波函数。,93,（二）Hamilton算符和能量本征值方程,（1）Hamilton 算符,二方程的特点：都是以一个算符作用于(r,t)等于E(r,t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。,再由 Schrodinger 方程：,94,（2）能量本征值方程,（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。数学物理方法中：微分方程+边界条件构成本征值问题；,（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；称为算符 H 的本征函数。（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。,95,（三）求解定态问题的步骤,讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：,（1）列出定态 Schrodinger方程,（2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得：,（3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数,（4）通过归一化确定归一化系数 Cn,96,（四）定态的性质,（2）几率密度与时间无关,（1）粒子在空间几率密度与时间无关,97,综上所述，当满足下列三个等价条件中的任何一个时，就是定态波函数：1.描述的状态其能量有确定的值；2.满足定态Schrodinger方程；3.|2 与 t无关。,（3）任何不显含t得力学量平均值与t 无关,98,作 业,周世勋 量子力学教程 2.2 题 曾谨言 量子力学导论 2.1、2.3 题,99,在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有四：（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。,1 一维无限深势阱 2 线性谐振子 3 一维势散射问题,第三章 一维定态问题,返回,100,1 一维无限深势阱,（一）一维运动（二）一维无限深势阱（三）宇称（四）讨论,101,（一）一维运动,所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。,此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。,令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=Ex+Ey+Ez于是S-方程化为三个常微分方程：,当粒子在势场 V(x,y,z)中运动时，其 Schrodinger 方程为：,102,其中,103,（二）一维无限深势阱,求解 S 方程 分四步：（1）列出各势域的一维S方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数,104,（1）列出各势域的 S 方程,(2)方程可 简化为：,势V(x)分为三个区域，用 I、II 和 III 表示，其上的波函数分别为 I(x),II(x)和 III(x)。则方程