连续时间系统的频域分析.ppt

第三章连续时间系统的频域分析本章将学习从频域对信号与系统进行分析,也称为傅立叶分析.傅立叶分析的研究与应用已经经历了一百余年.1822年数学家傅立叶提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，其后泊松、高斯等人将其应用到电学中.19世纪末,人们制造出电容器,到20世纪初,谐振电路、滤波器、正弦振荡器等的实现为傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔前景.20世纪70年代,傅立叶分析逐步应用到通信、数字信号处理等领域,出现了快速傅立叶变换.如今傅立叶技术不仅应用于电力工程、通信和控制领域，而且还应用于力学、光学、量子物理等其他领域。,本章的主要内容3.1 傅里叶级数及周期信号的频谱3.2 非周期信号的频谱-傅里叶变换3.3 傅里叶变换的基本性质3.4 周期信号的傅里叶变换以及取样定理3.5 LTI系统的频域分析3.6 能量谱和功率谱,第一节 傅里叶级数及周期信号的频谱,3.1.1 信号正交与正交函数集1.正交定义定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足:,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交.,2.正交函数集：,若n个函数 1(t),2(t),n(t)构成一个函数集,当这些函数在区间(t1，t2)内满足,傅里叶级数及周期信号的频谱,傅里叶级数及周期信号的频谱,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集.,3.完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t),2(t),n(t)之外,不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集.,例如:三角函数集1,cos(nt),sin(nt)，n=1,2,和虚指数函数集ejnt,n=0,1,2,是两组典型的在区间(t0,t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集.,傅里叶级数及周期信号的频谱,4 信号的正交分解,设有n个函数 1(t),2(t),n(t)在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间.将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似,可表示为 f(t)C11+C22+Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为最小。,通常使误差的方均值(称为均方误差)最小.均方误差:,傅里叶级数及周期信号的频谱,现求使得均方误差最小的线性组合系数Ci(第i个系数),展开上被积函数并求导.上式中只有两项不为0,写为,即:,所以系数,傅里叶级数及周期信号的频谱,代入,得最小均方误差(推导过程见教材),在用正交函数去近似f(t)时,所取得项数越多,即n越大,则均方误差越小.当n时,均方误差为零.此时有,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔(帕塞瓦尔)公式,表明:在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和.,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,3.1.2 周期函数的傅里叶级数,傅里叶级数及周期信号的频谱,1 傅里叶级数的三角形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(狄利克雷)(Dirichlet)条件时，它可分解为三角级数-称为f(t)的傅里叶级数,an,bn称为傅里叶系数,可见,an 是n的偶函数,bn是n的奇函数.,傅里叶级数及周期信号的频谱,式中,A0=a0,因此周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量.其中,A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同;A2cos(2t+2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍;Ancos(nt+n)称为n次谐波.,可见An是n的偶函数,n是n的奇函数.,将上式同频率项合并,可写为,an=Ancosn，bn=-Ansin n，n=1,2,傅里叶级数及周期信号的频谱,2 波形的对称性与谐波特性,(1)f(t)为偶函数-对称纵坐标,bn=0,展开为余弦级数。,(2)f(t)为奇函数-对称于原点,an=0,展开为正弦级数。,实际上,任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分,即 f(t)=fo(t)+fe(t)其中,傅里叶级数及周期信号的频谱,(3)f(t)为奇谐函数-f(t)=-f(tT/2),也称半波对称.,此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量,而不含偶次谐波分量即a0=a2=b2=b4=0,表示对称区间上f(t)包含的面积,可见面积为零,因此说明没有直流分量.,简单证明:,设f1(t)为函数f(t)在区间 上的部分,而f2(t)为区间 上的部分,则有:,或者,傅里叶级数及周期信号的频谱,换元:,可见,an只有奇次项,对于bn的证明大家按相同的方法可以证明,此处不再证.,傅里叶级数及周期信号的频谱,例题1 求周期锯齿波的三角函数傅里叶级数.,直流,基波,谐波,傅里叶级数及周期信号的频谱,例题2 将f(t)展开为傅立叶级数.,傅里叶级数及周期信号的频谱,例题3 将f(t)展开为傅立叶级数.,傅里叶级数及周期信号的频谱,傅里叶级数及周期信号的频谱,2 傅立叶级数的指数形式,傅里叶级数及周期信号的频谱,傅里叶级数及周期信号的频谱,傅里叶级数及周期信号的频谱,3 周期信号的功率-Parseval等式,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和.n0 时,|Fn|=An/2.,4 周期函数的有限傅立叶级数要用傅立叶级数准确表示周期函数f(t),则n.但是在工程实际应用中,往往用有限多项来近似表示.取n=N,N越大,越逼近f(t).设:,一般采用误差的概念来衡量近似表示的逼近程度.,误差函数:,均方误差:,傅里叶级数及周期信号的频谱,可以看出当N越大,均方误差越小,近似表示越逼近f(t).,傅里叶级数及周期信号的频谱,例如对称方波:偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项.,傅里叶级数及周期信号的频谱,N=1,一次谐波或基波,N=2,二次谐波,N=3,三次谐波,傅里叶级数及周期信号的频谱,有限项的N越大，误差越小例如:N=11,一般从合成波形当中可以看出有个波峰,则近似表示当中就有几次谐波分量.例如图中有6个波峰,则表明由六个谐波组成.,傅里叶级数及周期信号的频谱,3.1.3 周期信号的频谱,1 什么叫周期信号的频谱从广义上说,信号的某种特征量随信号频率变化的关系,称为信号的频谱,所画出的图形称为信号的频谱图.周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图,分别称为振幅频谱图和相位频谱图.因为n0,所以称这种频谱为单边谱.也可画|Fn|和n的关系,称为双边谱.若Fn为实数,也可直接画Fn.,傅里叶级数及周期信号的频谱,幅度谱和相位谱合起来称为信号f(t)的频谱,当然信号的频谱还有其他的形式,例如功率谱,能量谱等等.可以看出对于任意周期信号的频谱有一些共同特点,下面我们来看周期信号频谱的特点.,傅里叶级数及周期信号的频谱,2 周期信号频谱的特点,例题1:周期信号f(t)=,的周期T1=8,的周期T2=6,所以f(t)的周期T=24，基波角频率=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式,其功率为P=,试求该周期信号的基波周期T,基波角频率,画出它的单边频谱图,并求f(t)的平均功率。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量.,傅里叶级数及周期信号的频谱,是f(t)的/4/12=3次谐波分量；,是f(t)的/3/12=4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,傅里叶级数及周期信号的频谱,例题2 有一幅度为E,脉冲宽度为的周期矩形脉冲,其周期为T,如图所示,求频谱.,令 Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）,Fn为实数,可直接画成一个频谱图,设T=4画图.,傅里叶级数及周期信号的频谱,零点为,所以,m为整数。,特点:(1)离散频谱,谱线间隔为基波频率,谱线位置是基频的整数倍；(2)各谐波分量的大小与脉幅(E)成正比,与脉宽()成正比,与周期T成反比;,(3)幅度谱有收敛性,n时,谐波大小逼近于0,此处谐波大小(谱线)按 包络线收敛.,傅里叶级数及周期信号的频谱,(4)信号能量主要集中在第一个零点 内,因此定义信号带宽为.,谱线的结构与波形参数的关系：,(a)T一定,变小,此时(谱线间隔)不变.两零点之间的谱线数目:1/=(2/)/(2/T)=T/增多.(b)一定,T增大,间隔减小,频谱变密.幅度减小.如果周期T无限增长(就成为非周期信号),那么,谱线间隔将趋近于零,周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱.各频率分量的幅度也趋近于无穷小.,作业P160-1643-3,3-4,3-7(ace),3-12,3-13,傅里叶级数及周期信号的频谱,第二节 傅里叶变换,3.2.1 傅立叶变换前面已经学习了周期信号的傅立叶级数以及频谱:,那么非周期信号的频谱呢?当周期信号的周期T时,则周期信号变为非周期信号.是否简单的将上述变换式中的T取的极限就可以得到非周期信号的频谱呢?,前已指出当周期T趋近于无穷大时,谱线间隔趋近于无穷小,从而信号的频谱变为连续频谱.但各频率分量的幅度 也趋近于无穷小!,傅里叶变换,考虑到:T,无穷小,记为d;n(由离散量变为连续量),而,根据傅里叶级数,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数,简称频谱.f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数.,同时,于是,傅里叶变换式,傅里叶反变换式,傅里叶变换,也可简记为:,F(j)=Ff(t)f(t)=F 1F(j)或 f(t)F(j),说明,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤.可证明,函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,傅里叶变换,3.2.2 典型非周期信号的傅立叶变换,(3)F(j)一般是复函数,写为 F(j)=|F(j)|e j()=R()+jX()其中:|F(j)|幅度谱(幅度频谱)()相位谱(相位频谱)(4)非周期信号的频谱是连续谱.,1 单边指数函数 f(t)=etu(t),0实数,傅里叶变换,2 双边指数函数f(t)=et,0,3 直流信号 f(t)=1,构造 f(t)=e-t，0,所以,傅里叶变换,傅里叶变换,又,12(),4 冲激函数(t)、(t),将t，t-,再根据傅里叶变换定义式，得,(t)1代入反变换定义式，有,直流信号傅立叶变换的另一种求法：,结论及推论,傅里叶变换,傅里叶变换,5 门函数(矩形脉冲),傅里叶变换,6 符号函数,7 阶跃函数u(t),8 sint 以及cost?,归纳记忆：,1.F 变换对,2.常用函数 F 变换对：,(t),u(t),e-t u(t),g(t),sgn(t),e|t|,1,1,2(),傅里叶变换,第三节 傅里叶变换的基本性质,1 线性(Linear Property),若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j),af1(t)+bf2(t)aF1(j)+bF2(j),证明:Faf1(t)+bf2(t),=aF1(j)+bF2(j),傅里叶变换的基本性质,傅里叶变换的基本性质,例题1 已知信号波形如右图,求F(j)=?,解:f(t)=f1(t)g2(t)=1-g2(t),f1(t)=1 2(),g2(t)2Sa(),F(j)=2()-2Sa(),傅里叶变换的基本性质,2 时移性质(Timeshifting Property),若 f(t)F(j)则,证明:F f(tt0),傅里叶变换的基本性质,例题2 已知信号波形如图,求F(j).,解:令 f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)则有 f(t)=f1(t)+f2(t),g6(t-5),g2(t-5),F(j)=,+,傅里叶变换的基本性质,例题3 求如图所示三脉冲信号的频谱.,解：,则 f(t)=f0(t+T)+f0(t)+f0(t-T),傅里叶变换的基本性质,=,+,+,脉冲个数增多,频谱包络不变,带宽不变.,傅里叶变换的基本性质,3 对称性质(Symmetrical Property),若 f(t)F(j)则,证明:,（1）,(1)t，t,（2）,(2)-then,F(j t)2f(),F(jt)2f(),傅里叶变换的基本性质,例题4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换.,解:(1),(2),(3),傅里叶变换的基本性质,例题4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换.,傅里叶变换的基本性质,(4),例题4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换.,F(j)=?,思考题,傅里叶变换的基本性质,4 频移性质(Frequency Shifting Property),若 f(t)F(j)则,证明:,F e j0t f(t),=F j(-0),例题5 f(t)=e j3tF(j)=?,解:1 2()ej3t 1 2(-3),傅里叶变换的基本性质,例题5 试计算下列信号的傅立叶变换.,(1)f1(t)=cos0t(2)f2(t)=sin0t(3)f3(t)=f(t)cos0t(4)f4(t)=f(t)sin0t,解:,则得:F(j)=(+0)+(-0),例题6 已知调幅信号f(t)=Eg(t)cos0t,试求其频谱?,解:已知矩形脉冲Eg(t)的频谱为:,因为:,所以,可以看出,信号f(t)的频谱就是将G()一分为二并向左,向右各平移0而得到.,傅里叶变换的基本性质,傅里叶变换的基本性质,若 f(t)F(j)则,5 尺度变换性质(Scaling Transform Property),证明:当 a 0,Ff(at),当a 0,Ff(at),傅里叶变换的基本性质,例题7 已知f(t)F(j),求f(at b)的傅立叶变换.,解:f(tb),e-jbF(j),则f(atb),or,f(at),f(atb)=,例题8 求函数f(t)=1/(jt-1)的傅立叶变换.,解:,提问:如果f(t)=1/(t-1)呢?,傅里叶变换的基本性质,例题9 已知,求信号 的傅立叶变换.,解:方法一：先尺度变换，再时延,方法二：先时延再尺度变换,傅里叶变换的基本性质,6 卷积性质(Convolution Property),时域卷积(Convolution in time domain),若 f1(t)F1(j),f2(t)F2(j)则 f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j),频域卷积(Convolution in frequency domain),若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)则 f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j),傅里叶变换的基本性质,例题10 求信号f(t)=(sint/t)2的傅立叶变换.,解:两个完全相同的门函数卷积可以得到三角脉冲.即:,使用对称性质(Using symmetry),=,相同矩形脉冲卷积得到三角脉冲的证明过程如下:,傅里叶变换的基本性质,例题11(例题6)已知调幅信号f(t)=Eg(t)cos0t,试求其频谱?,解:已知矩形脉冲Eg(t)的频谱为:,而cos0t的频谱为:,利用频域卷积定理得:,傅里叶变换的基本性质,傅里叶变换的基本性质,7 时域的微分和积分性质(Differentiation and Integration in time domain),若 f(t)F(j)则,证明:,f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)nF(j),f(-1)(t)=u(t)*f(t),时域积分性质的另一种证明,傅里叶变换的基本性质,交换积分顺序，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换,变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为,傅里叶变换的基本性质,傅里叶变换的基本性质,例题12 信号f(t)=1/t2 的频谱函数.,解:,例题13 已知f(t)F1(j),求信号f(t)的频谱.,傅里叶变换的基本性质,若 f(n)(t)Fn(j)且 f(-)+f()=0 则 f(t)Fn(j)/(j)n,例题13 求三角函数的频谱密度函数(傅立叶变换).,解:将三角函数两次微分,如下过程,可得三个冲激函数,再利用微分性质则可得到原三角函数的傅立叶变换.,傅里叶变换的基本性质,注意:du(t)/dt=(t)1,u(t)1/(j),傅里叶变换的基本性质,也可以用积分性质来求解可得到一样的结果,傅里叶变换的基本性质,8 频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain),频域微分性质:若 f(t)F(j)则(jt)nf(t)F(n)(j),证明：频域微分,傅里叶变换的基本性质,频域积分性质的证明相对比较复杂,请大家自己参考证明过程自己学习和理解.,傅里叶变换的基本性质,注意:tu(t)=u(t)*u(t),例题14 求f(t)=tu(t)的傅立叶变换.,例题15 求积分 的值.,傅里叶变换的基本性质,例题16 已知,求 的傅立叶变换.,解:,例题17 已知,求其傅立叶变换.,解:,另解:,9 帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals),傅里叶变换的基本性质,证明:,|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t).即信号单位频率上的频谱(能量密度谱),傅里叶变换的基本性质,例题18 求信号 的能量.,解:,傅里叶变换的基本性质,10 奇偶虚实性,(1)f(t)是实函数时,则有:(f(t)为虚函数呢?),=R()+jX(),R()=R(-),X()=-X(-);|F(j)|=|F(-j)|,()=-(-);F(-)=R(-)+jX(-)=R()-jX()=F*()If f(t)=f(-t),then X()=0,F(j)=R();If f(t)=-f(-t),then R()=0,F(j)=jX().,傅里叶变换的基本性质,(2)f(t)为虚函数,设f(t)=jg(t),g(t)为实函数,此时频谱密度函数函数以及实部虚部的奇偶虚实性与前面的讨论方法相同，请同学们自己下去讨论。,作业题P166-1683-19(a),3-20,3-21,3-25,3-26,3-29,傅里叶变换的基本性质,第四节 周期信号的傅里叶变换以及取样定理,3.4.1 正、余弦信号的傅里叶变换,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,3.4.2 一般周期信号的傅里叶变换,例题1 周期为T的单位冲激周期函数T(t)=,解：,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,例题2：周期信号如图,求其傅里叶变换.,解:周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展.即:,f(t)=T(t)*f0(t),F(j)=()F0(j),本题 f0(t)=g2(t),与周期信号傅立叶变换定义式比较得,这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法.,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,3.4.3 取(抽)样定理,取样定理论述了在一定条件下,一个连续信号完全可以用离散样本值表示.这些样本值包含了该连续信号的全部信息,利用这些样本值可以恢复原信号.可以说,取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁.为其互为转换提供了理论依据.取样定理是模拟信号变换为(A/D转换)的理论基础.,1 信号的取样,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程.这样得到的离散信号称为取样信号.,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,如图一连续信号f(t),用取样脉冲序列s(t)(开关函数)进行取样,取样间隔为TS，fS=1/TS称为取样频率.,得取样信号 fS(t)=f(t)s(t),取样信号fS(t)的频谱函数为 FS(j)=(1/2)F(j)*S(j),(1)时域理想抽样(冲激抽样),若s(t)是周期为Ts的冲激函数序列T(t),则称为冲激取样.,如果f(t)是带限信号即f(t)的频谱只在区间(-m,m)为有限值，而其余区间为0.,设f(t)F(j),取样信号fS(t)的频谱函数,则取样(抽样)信号为:,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,相乘,相卷,时域抽样,频域周期重复,时域理想抽样的傅立叶变换,FT,FT,相乘,相卷积,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,=,*,=,上面在画取样信号fS(t)的频谱时,设定S2m,这时其频谱不发生混叠,因此能设法(如利用低通滤波器),从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t).否则将发生混叠,而无法恢复原信号.,乘,卷,(2)非理想抽样信号的傅立叶变换,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,-m,m,关于非理想抽样,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,2 时域取样定理,当S 2m(fs2fm)时,将fs(t)通过下面的低通滤波器,其截止角频率mCS-m.即可恢复原信号f(t).,由于 fs(t)=f(t)s(t)=f(t),根据对称性可知H(j)h(t)=,为方便，选C=0.5S,则TsC/=1,此处假设抽样过程为理想抽样：,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,根据f(t)=fS(t)*h(t)，有,时域取样定理：一个频谱在区间(-m,m)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔TsTs1/(2fm)上的样值点f(nTs)确定.,注意:为恢复原信号,必须满足两个条件:(1)f(t)必须是带限信号;(2)取样频率不能太低,必须fs2fm,或者说,取样间隔不能太大,必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠.,只要已知各取样值f(nTs),就能唯一地确定出原信号f(t)。,周期信号的傅里叶变换以及取样定理,把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率,把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔.,频域取样定理(略)：一个在时域区间(-tm,tm)以外为0的时限信号f(t)的频谱函数F(j),可唯一地由其在均匀频率间隔fsfs1/(2tm)上的样值点F(jns)确定.,作业P170-1723-38,3-39(1)(3),3-40(1)(2)(3)(5)(7),周期信号的傅里叶变换以及取样定理,第五节 LTI系统的频域分析,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和,一般用于求解系统响应.,对周期信号：,对非周期信号：,其基本信号为 ejt,3.5.1 基本信号ejt作用于LTI系统的响应,说明:频域分析中,信号的定义域为(,),而t=总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t).,LTI系统的频域分析,设LTI系统的单位冲激响应为h(t),当激励是角频率的基本信号ejt时,其响应,而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换,记为H(j),常称为系统的频率响应函数。,y(t)=H(j)ej t,H(j)反映了响应y(t)的幅度和相位.,y(t)=h(t)*ejt,LTI系统的频域分析,3.5.2 信号f(t)作用于LTI系统的响应,ej t,H(j)ejt,F(j)ejtd,F(j)H(j)ejtd,齐次性,可加性,f(t),y(t)=F1F(j)H(j),Y(j)=F(j)H(j)y(t)=f(t)*h(t),LTI系统的频域分析,频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即,|H(j)|称为幅频特性(或幅频响应);()称为相频特性(或相频响应).|H(j)|是的偶函数,()是的奇函数.,频域分析法步骤：,傅里叶变换法,LTI*h(t),f(t),y(t)=f(t)*h(t),F(j).,H(j)=,Y(j),傅立叶逆变换,y(t),LTI系统的频域分析,对周期信号还可用傅里叶级数法,周期信号,若,则可推导出,LTI系统的频域分析,例题1 某LTI系统的|H(j)|和()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t),求系统的响应.,解法一：用傅里叶变换,F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10),Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5)+(+5)H(-j5)+4(10)H(j10)+(+10)H(-j10),H(j)=H(j)ej(),=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5),y(t)=F-1Y(j)=2+2sin(5t),LTI系统的频域分析,解法二：用三角傅里叶级数,f(t)的基波角频率=5rad/s,f(t)=2+4cos(t)+4cos(2t),H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0,y(t)=2+40.5cos(t 0.5)=2+2sin(5t),LTI系统的频域分析,3.5.3 频率响应H(j)的求法,1.H(j)=Fh(t),2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求,对微分方程两边取傅里叶变换.(2)由电路直接求出.,例题2 某系统的微分方程为y(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tu(t)时的响应y(t)。,解：微分方程两边取傅里叶变换,jY(j)+2Y(j)=F(j),f(t)=e-tu(t),Y(j)=H(j)F(j),LTI系统的频域分析,y(t)=(e-t e-2t)u(t),例题3 如图电路,R=1,C=1F,以uC(t)为输出,求其h(t)。,解：画电路频域模型,所以:h(t)=e-t u(t),频域模型,LTI系统的频域分析,LTI系统的频域分析,3.5.4 无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大体可分为两类:一类是信号的传输,一类是滤波.传输要求信号尽量不失真,而滤波则滤去或削弱不需要有的成分,必然伴随着失真.,1、无失真传输,(1)定义:信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比,只有幅度的大小和出现时间的先后不同,而没有波形上的变化.即 输入信号为f(t),经过无失真传输后,输出信号应为 y(t)=K f(ttd)其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j),LTI系统的频域分析,上述是信号无失真传输的理想条件.当传输有限带宽的信号时,只要在信号占有频带范围内,系统的幅频、相频特性满足以上条件即可.,(2)无失真传输条件：,系统要实现无失真传输,对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(t td)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-j td即H(j)=K,()=td,LTI系统的频域分析,例题4 系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示,则下列信号通过该系统时,不产生失真的是,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t),解:不失真的条件是H(j)=K,()=td 题图H(j)=K(-10 10),()=td(-5 5).所以(B)信号经过系统时不会失真.,2 理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器.c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为:,(1)冲激响应,h(t)=-1g2c()e-jtd=,h(t)不是因果信号,它实际上是不可实现的非因果系统.,LTI系统的频域分析,(2)阶跃响应,g(t)=h(t)*(t)=,经推导,可得,称为正弦积分,特点:有明显失真,只要c,则必有振荡,其过冲比稳态值高约9%.这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象.,gmax=0.5+Si()/=1.0895,LTI系统的频域分析,3 物理可实现系统的条件(略),就时域特性而言,一个物理可实现的系统,其冲激响应在t0时必须为0,即h(t)=0,t0 即 响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说,佩利(Paley)和维纳(Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,并且,称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出,对于物理可实现系统,其幅频特性可在某些孤立频率点上为0,但不能在某个有限频带内为0.,LTI系统的频域分析,第六节 能量谱和功率谱,3.6.1 相关系数,若用 来近似，设有误差能量,使 最小,即 时误差能量最小,能量谱和功率谱,能量谱和功率谱,归一化为相对误差能量,相关系数为,能量谱和功率谱,3.6.2 相关函数-时移信号的相关性,由相关系数 求两时移信号的相似性,有如下相关函数,叫互相关函数.,或,还有另一定义,能量谱和功率谱,如果x(t)和y(t)都是同一个函数f(t),用 来表示,称为自相关函数,记为:,若定义中涉及的函数全为实函数,则上述定义可写为:,能量谱和功率谱,3.6.3 相关与卷积的关系(实函数时),h(t),h(-t),能量谱和功率谱,3.6.4 相关定理,若已知,则,证明:,可以证明,此定理对x(t)与y(t)实函数和复数函数都成立.,能量谱和功率谱,3.6.5 能量谱和功率谱,帕斯瓦尔定理,能量谱和功率谱,两块阴影的面积相等,能量密度谱,能量有限信号,一般称平均功率为无穷小,能量为有限值的信号为能量有限信号,这样的信号才可以用能量大小来描述.,定义单位频率上的信号能量为,称为能量密度函数,简称能量频谱(能量密度谱)或能量谱.,能量谱和功率谱,如果信号平均功率为有限值,但能量为无穷大,则这类信号只能用平均功率来描述,称为功率有限信号.此时相关函数应定义为:,信号平均功率为,其中 为信号 在区间 上的截尾函数 的频谱.当T时,趋近于一个极限,若极限存在,则定义:,为功率密度函数,简称功率谱.,能量谱和功率谱,此时的 可以看作是函数 在区间 上的截取函数,即可表示为:,则截取函数的频谱为:,又由前面功率有限信号自相关函数的定义,能量谱和功率谱,可见自相关函数与功率谱是一对傅立叶变换.,能量谱和功率谱,例题1 求信号f(t)=g(t)的信号能量及能量谱.(略),例题2 求信号f(t)=Sa(t)的信号能量及能量谱.(略),例题3 求周期信号f(t)的功率谱,周期为T1.,解:,例题4 求周期信号f(t)=Ecos1t的自相关函数与功率谱,其周期为T1.,解法1:先求自相关,再求功率谱.,能量谱和功率谱,解法2:先求功率谱,再求自相关.,能量谱和功率谱,作业P369-3716-16,6-17,6-18,6-19,能量谱和功率谱,