连续性和间断点.ppt
二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性,四、连续函数的性质,三、初等函数的连续性,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有函数的增量,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,值和最小值.,在该区间上一定有最大,2、零点存在定理,定理2.,至少有一点,且,使,(证明略),3、介值定理,设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,使,至少有,内容小结,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:x=1 是第一类可去间断点,作业 P4 1、2、3,