2023北京各区期末考试解析几何分类汇编理.docx

解析几何(理)分类一、选择题1 .(海淀1)抛物线V=-2y的焦点坐标是()（八）(-1,0)(B)(1,0)(C)(0,-)(D)(0,-)22答案：C2 .(朝阳2)过抛物线)，2=4X的焦点方的直线/交抛物线于A,8两点.若AB中点M到抛物线准线的距离为6,则线段AB的长为A.6B.9C.12D.无法确定答案Cx=-l+3COSa3 .(石景山3)点(1,2)与圆1八的位置关系是()y-3sn6A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.与。的值有关答案：A4 .(海淀4)已知直线4:0r+(+2)y+l=0,I2:x+ay+2=0.若，工L2，则实数的值是()（八）0(B)2或一1(C)0或一3(D)-3答案：C5 .(西城7)已知抛物线C：V=4x,点P(m,0),O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点。，使得？OQP900,则实数m的取值范围是()（八）(4,8)(B)(4,+?)(C)(0,4)(D)(8,+?)答案：B6(丰台8).在平面直角坐标系Xoy中，假如菱形OABC的边长为2,点8在y轴上，则菱形内(不含边界)的整点(横纵坐标都是整数的点)个数的取值集合是（八）1,3(B)0,1,3(C)0,1,3,4(D)0,1,2,3,4答案：D7.(东城8)已知圆C:/+y2=2,直线h+2y-4=0,点尸(Xo,凡)在直线/上.若存在圆C上的点。，使得N。尸Q=45(。为坐标原点)，则与的取值范围是Q1o<A）0,1（B）0,-（C）-J（D）5225答案：B二、填空题1.（东城9）若抛物线y2=2px（p>（）的焦点到其准线的距离为1,则该抛物线的方程为答案：y2=2x222 .（西城10）设4,F2为双曲线C：、一工=1（。>0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一a16点，假如IP耳I-IPKb4,那么双曲线C的方程为一；离心率为一.答案：三一E=i54163 .（朝阳10）双曲线C2-y2=%（2>0）的离心率是;渐近线方程是.答案：yjl',y=±x24 .（海淀11）若双曲线/一上二1的一条渐近线的倾斜角为60。，则机=.m答案：35 .（石景山12）.若抛物线y=0?的焦点与双曲线与一/=1的焦点重合，则。的值为.答案：86 .（丰台13）过点M（0,%）作圆0：/+y2=的切线，切点为N,假如%=0,那么ZOMN-v切线的斜率是_；假如6,那么）。的取值范围是_.土立,答案：2；-1wy°w127 .（昌平13）.已知双曲线一匕=1（m>0）的离心率是2,则帆=,以该双曲m线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是.答案：3；(-2)2÷=3三、解答题1.(海淀18)已知椭圆M:9+£=1,点月，。分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点耳的直线/(不与工轴重合)交M于AB两点.(I)求知的离心率及短轴长；(II)是否存在直线/,使得点B在以线段4C为直径的圆上，若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.22解：(I)由三+乙=1得：a=2,b=643所以椭圆”的短轴长为2J.2分因为C=Ja2-从=1,所以e=-,即M的离心率为4分a22(II)由题意知：C(-2,0),(-l,0),设B(x0,y0)(-2<x0<2),则芯K=1.7分43因为BF1-BC=(-xq9-y0)-(-2-x0,-y0)=2+3x0+x+y9分11分=x+3x0+5>0,JT所以ZB(0,-)2所以点3不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线/,使得点8在以AC为直径的圆上.13分另解：由题意可设直线/的方程为x=my-l,A(x,y1),B(x2,2).£+21=143'可得：(3w2+4)y2-6my-9=0.X=my-13m2+4*"3w2+4所以CACB=(xl+2,y1)2+2,j2)=(n2+1)y1y2+w(y1+y2)+1/2-96w1=Un+1)；+m；+13m2+43w2+4=-<0.3加2+411分所以ZC(-,).2JT所以ZB(0,-)2所以点3不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线/,使得点8在以AC为直径的圆上.13分22«2.(丰台19)已知椭圆C：=+与=l(>8>0)的右焦点F(G,0),点M(-君，)在a-b2椭圆C上.(I)求椭圆C的标准方程：(II)直线/过点/，且与椭圆C交于A,B两点，过原点。作直线/的垂线，垂足为尸，假如AOAB的面积为II(几为实数)，求/的值.20P解：(【)由题意知：C=6.依据椭圆的定义得：2a=J(-3-3)2+2+；,即=2.2分所以b2=4-3=1.3分2所以椭圆C的标准方程为+y2=l.4分4由题意知，AABC的面积=gAB0P=4靠,4整理得I=IOPI2.5分AB当直线/的斜率不存在时，/的方程是X=J?.此时IA5=1,IOPI=6,所以2=OP2-j=l当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为)=Z(x-3),设Aa,y),B(2,y2).可得(4k2+I)X2-832x+2k2-4=0.8限2X)÷X5=彳，1-4F+112k2-4中2=KF因为y=(芭-6)，y2=(¾-6),所以IA31=(x1-x2)2+(jl-y2)2=5(P+l)(x1-X2)2=7(2÷1)(x+)2-4x1x2所以此时，2=3/F+T4r+ 1F+14分综上所述，几为定值-1.3.(东城19)己知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，短轴长为2,离心率为且2(I)求椭圆C的方程;(II)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为L的直线/交椭圆。于A,8两点,2求证：IPAI2+1PBI2为定值.解(I)设椭圆C的标准方程为=+与=l(>8>0),abQ-h+C由题意知=且,解得=2.a2b=所以椭圆C的标准方程为+/=!4(II)设P(m,0)(-2w2),由已知，直线/的方程是y=.1.、y=-(-m),由，72消y得2工22"优+m2-4=()().X,1彳+y=1,设Aa,必)，3(，刈)，则再、为是方程(*)的两个根，m4所以£+%2=6，AT1X2=-.所以IPAI2+1PBI2=U1-W)2+y；+(/-加-+员=(Xl-in)2+-(xl-w)2+(x2-m)2+(x2-m)2=(xi-w)2+(x2-w)2=jx；+x；-2w(x1+x2)+2tn2=(x1+x2)2-2m(xl+x2)-2xlx2+2m2=-m2-2m2-(m2-4)+2n2=5(定值).4所以IPAI2+IP/?/为定值.13分4.(西城19)X2v2已知椭圆C：+2-=l的右焦点为F,右顶点为4离心率为e,点P(犯OXm>4)满1612意条件MIAPl(I)求m的值；(II)设过点F的直线/与椭圆C相交于N两点，记"MF和KNF的面积分别为S,求证:SlJPMl "Tw22(I)解：因为椭圆C的方程为+-=1,1612所以a=4,b=25,c=J2一加=2,C1则e=-=,E4=2,AP=m-4.a2因为FA_ 21AP n-42,y = k(x-2),得(42 + 3)x2 -1 6)12x÷ 162 -48 = 0,7 分可知>()恒成立，且x1 + x9 =,芭居=国.8分1 4r+3, 24+3所以"2=8.分(U)解：若直线/的斜率不存在，则有S1=S2,PM=PN,符合题意.6分若直线/的斜率存在，则设直线/的方程为y=k(x-2),M(%,),N(X2,%)22Xy1由I=Lm1612因为kPK1+kPN=÷2)÷kX12)IO分PMpnl-8x2-8xl-8x2-8_(x,2)(x28)+Az(x22)(xi8)(X18)(x28)2kxix210(xl+x2)÷32(xl8)(x28)2k-168484+3一 IOb6k241+312分因为PMF和APNF的面积分别为5,= JlPFlPMsin/MPF， 2(XI-8)(“2-8)所以MPF=NPF.13分S2=；IP用PNsinNP,5.(朝阳19)已知椭圆+/=人0)过点(1,日)，离心率为坐.过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为-L的直线分别交椭圆。于M,N两点.4(I)求椭圆C的标准方程；(II)直线MN是否过定点。？若过定点。，求出点。的坐标；若不过，请说明理由./ =4h2 =I£=在解：(【)由已知得,a2,解得131上市=1所以椭圆的标准方程为9+丁"(II)直线MN过定点O(0,0).说明如下：由(I)可知椭圆右顶点A(2,0).由题意可知，直线AM和直线AN的斜率存在且不为O.设直线AM的方程为y=k(x-2).由卜+4>，=4得(+4公口2一16攵2jc+i6/一4=0.y=k(x-2)所以2162-4 1+4p-=256/-16(1+4A:2)(4/-I)=I6>0成立，Sk2-21+4公-2-Ak所以加=Aai）=以询-2）=中工曰上A4/8K2-4k于正，点（TTZ记'寸记）.因为直线AM和直线AN的斜率乘积为-,，故可设直线AN的方程为41/小y=-T7*-2).4A同理，易得XN8(-9-2 2 如心一厅"山所以点N（币记'帝记）.i2攵所以，当XMx时，即攵±-时，kMN=2I-4k直线MN的方程为y-Ikl + 4k2 " -4k2(x-Z1).1 + 4F2k整理得y=1一妹明显直线MN过定点O（0,0）.（点M,N关于原点对称）当=XN,即攵=±；时，直线MN明显过定点0（0,0）.综上所述，直线MN过定点O（0,0）.14分6.（石景山19）已知椭圆.+,=伍>>°）的离心率为*'且过点8（。川.(I)求椭圆的标准方程;(II)直线/:y=2(x+2)交椭圆于p、Q两点，若点8始终在以PQ为直径的圆内，求实数左的取值范围.b=解：(I)由题意知一。一22t22a=b+c椭圆的标准方程为：÷=1.(11)设Pai,弘),。(工2，>2)y=k(x+2)尤2,消去y,得：(1+41)/+16公+(i6&2_4)=0.(*)6分+y=11.4依题意：直线/:y=Z(x+2)恒过点(一2,0),此点为椭圆的左顶点,所以玉=-2,y1=O一-,由(*)式，x1 ÷X2 =6k2 C(1+4/) 一，可得M+%="(2+2)+左(工2+2)=4(x+/)+4Z，由，2-Sk24Z10分,12 分由点B在以PQ为直径的圆内，得NPB。为钝角或平角，即丽丽v.BP=(-2,-1)>BQ(x2,y21)BP-BQ-2x2y2+1<O.4-6k2 4kT+4P+T+4F-1>O,整理得20公一4Z-3<014分解得：A(-1027.(昌平19)已知椭圆C:。+S=1(匕0),经过点P(l,旁)，离心率是坐.(I)求椭圆C的方程；（三）设直线/与椭圆C交于48两点，且以46为直径的圆过椭圆右顶点M,求证:直线/恒过定点.13)解：(I)由，£=堂 a 2 a2=b2+c2解得(a = 2所以椭圆C的方程是 + y2=l .5分4(II)方法一(1)由题意可知，直线/的斜率为O时，不合题意.(2)不妨设直线I的方程为X =+ ?.由，X= ky + nF,消去 X 得(r+4)/+26), + /-4 = 0+ y2 = 114设 A(N,y), B(x2,y2)t 则有 乂+泗=怨，:K rK + q因为以AB为直径的圆过点M ,所以MAMB = O.由 MA = (xl -2tyl)tMB = (x2-2ty2), ( -2)(xz -2) + yly2 = O .将用=心1 + m, x2 = ky2 + ?代入上式，得(公 +1),必 + km - 2)(y1 +y2) + (m-2)2 =O12将代入，得5m2 -16m ÷ 12 = O+4解得7=9或，=2(舍).5综上，直线/经过定点冷,0).14分方法二证明：(1)当女不存在时，易得此直线恒过点(5,0).7分(2)当&存在时.设直线/的方程为y=h+m,A(xpy1),(x2,y2),M(2,0).2王2-1由7"+y=1,可得(4公+i)d+8加优+4m2-12=0.ykx+m=16(4jl2-m2+l)>0xi + x2_ Skm 4k2 + i4m2 - 4由题意可知MAMB=O,M4=(x1-2,y1),MB=(X2-2,y2),yl=kxl+m,y2=kx2+tn.可得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0.10分整理得(m-2)(xi+x2)+(A2÷1)xix2+4+w2=0把代入整理得您"?WJ。,4公+1由题意可知2k1+6hn+5m2=0,解得m=-2k,m=-k.(i)当机=-2Z:时,即y=-2),直线过定点(2,0)不符合题意，舍掉.12分(ii)加=苧时，即)，=女。一|),直线过定点4,0),经检验符合题意.综上所述，直线/过定点(g,0)14分