重积分的计算法第二次.ppt

一、利用直角坐标系计算二重积分,积分区域D为：,积分区域D为：,又是能否进行计算的问题.,计算二重积分时,恰当的选取积分次序,十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且,例,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积.,两相邻弧半径平均值.,内取圆周,上一点,其直角坐标为,则,二、利用极坐标系计算二重积分,根据二重积分的定义：现在研究，在极坐标系内，上述极限的形式,得,即,将直角坐标中的二重积分转化为极坐标系的二重积分，只要将x,y分别变为，并把dxdy变为 即可。,注意：现在仅仅是将直角坐标中的二重积分转化为极坐标中的二重积分，为了计算极坐标系中的二重积分还要进一步转为二次积分。,问：,从直角坐标到极坐标，要做哪些改变？,怎么转化？,(1)积分区域D:,(2)积分区域D(曲边扇形):,(3)积分区域D:,注,一般,在极坐标系下计算:,极坐标系下区域的面积,解,若在直角坐标下计算,无法计算！,解,在极坐标系下,解,求反常积分,例,显然有,对称性质,夹逼定理,即,所求反常积分,解,例 求球体 被圆柱面 所截得的立体的体积,由对称性,所求体积V是第一卦限内的立体体积的4倍，,所以,将重积分化为累次积分,1.画出积分区域D的草图，分析D，写出,描述积分区域的不等式,这时注意选取合适的积分顺序。,2.如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则先将之化为极坐标中的重积分，,总结,再分析积分区域，化为累次积分。,