重积分的简单应用.ppt

第三节 二重积分的应用,一、立体的体积二、曲面的面积三、平面薄片的重心四、平面薄片对质点的引力五、小结,一、立体的体积,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,例1 计算由曲面,及 xoy 面所围的立体,体积。,解,设立体在,第一卦限上的体积为 V1。,由立体的对称性，所求立体体积 V=4V1。,立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,它的底为,于是，,例2 求两个圆柱面,所围,的立体在第一卦限部分的体积。,解,所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,它的底为,于是，立体体积为,例3 求球体,被圆柱面,所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。,解,显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。,而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。,因此，若设第一卦限部分的体积为 V1，则所求立体的体积为,V1 可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,它的底D 由半圆周,及 x 轴围成。,用极坐标系表示,于是，,所求立体体积,二、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,-曲面 S 的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,设第一卦限部分的面积为 A1，则由对称性，所求的面积为,极坐标系下表示：,三、平面薄片的重心,当薄片是均匀的，重心称为形心.,由元素法,闭区域 D 的面积,解,薄片对 z 轴上单位质点的引力,G 为引力常数,四、平面薄片对质点的引力,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,几何应用：立体的体积、曲面的面积,物理应用：重心、对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,五、小结,