连续系统的振动之一维波动方程之二梁的弯曲振动.ppt
连续系统的振动,主讲：殷玉枫 教授太原科技大学机械电子工程学院2007-9-9,实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。,由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。,连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。,在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法,（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。,说 明,（2）材料均匀连续；各向同性。,（3）振动满足微振动的前提。,一维波动方程,动力学方程 固有频率和模态函数 主振型的正交性 杆的纵向强迫振动,连续系统的振动/一维波动方程,动力学方程,（1）杆的纵向振动,讨论等截面细直杆的纵向振动,杆长 l,假定振动过程中各横截面仍保持为平面,截面积 S,材料密度,弹性模量 E,忽略由纵向振动引起的横向变形,单位长度杆上分布的纵向作用力,杆参数：,连续系统的振动/一维波动方程,杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移,微段分析,微段应变：,横截面上的内力：,由达朗贝尔原理：,连续系统的振动/一维波动方程,杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移,横截面上的内力：,由达朗贝尔原理：,代入，得：,杆的纵向强迫振动方程,对于等直杆，ES 为常数,弹性纵波沿杆的纵向传播速度,有：,连续系统的振动/一维波动方程,（2）弦的横向振动,弦两端固定，以张力 F 拉紧,在分布力作用下作横向振动,建立坐标系,弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移,单位长度弦上分布的作用力,单位长度弦的质量,微段受力情况,达朗贝尔原理：,弦的横向强迫振动方程,令：,并考虑到：,得：,弹性横波的纵向传播速度,连续系统的振动/一维波动方程,（3）轴的扭转振动,细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动,假定振动过程中各横截面仍保持为平面,截面的极惯性矩 Ip,材料密度,切变模量 G,：单位长度杆上分布的外力偶矩,杆参数：,为杆上距离原点 x 处的截面在时刻 t 的角位移,截面处的扭矩为 T,微段 dx 受力,：微段绕轴线的转动惯量,连续系统的振动/一维波动方程,代入，得：,微段 dx 受力,达朗贝尔原理：,材料力学：,即：,圆截面杆的扭转振动强迫振动方程,对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数,有：,剪切弹性波的纵向传播速度,连续系统的振动/一维波动方程,小结：,（1）杆的纵向振动,（2）弦的横向振动,虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程。,（3）轴的扭转振动,连续系统的振动/一维波动方程,固有频率和模态函数,以等直杆的纵向振动为对象,方程：,纵向自由振动方程：,假设杆的各点作同步运动，即设：,q(t)表示运动规律的时间函数,杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅,代入，得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,记：,通解：,（确定杆纵向振动的形态，称为模态）,由杆的边界条件确定,与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值,由频率方程确定的固有频率 有无穷多个,（下面讲述）,连续系统的振动/杆的纵向振动,第 i 阶主振动：,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：,连续系统的振动/杆的纵向振动,几种常见边界条件下的固有频率和模态函数,（1）两端固定,边界条件：,不能恒为零,故：,代入模态函数,得：,（杆的纵向振动频率方程）,无穷多个固有频率：,由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去,特征：两端位移为零,模态函数：,连续系统的振动/杆的纵向振动,（2）两端自由,特征：自由端的轴向力为零,边界条件：,得：,零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移,频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同,固有频率：,模态函数：,得出：,连续系统的振动/杆的纵向振动,（3）一端固定，一端自由,特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零,边界条件：,得：,固有频率：,模态函数：,连续系统的振动/杆的纵向振动,或：,左端自由，右端固定,特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零,边界条件：,得：,固有频率：,模态函数：,连续系统的振动/杆的纵向振动,边界条件,模态函数,连续系统的振动/杆的纵向振动,频率方程,固有频率,例：,一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。,推导系统的频率方程。,连续系统的振动/杆的纵向振动,连续系统的振动/杆的纵向振动,解：,边界条件：,得出：,频率方程,振型函数：,连续系统的振动/杆的纵向振动,例：,一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。,推导系统的频率方程。,边界条件：,自己推导！,主振型的正交性,只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性,杆可以是变截面或匀截面的,杆的动力方程：,自由振动：,主振动：,代入，得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,杆的简单边界：,固定端,x=0 或 l,自由端,x=0 或 l,设：,代入：,乘 并沿杆长对 x 积分：,利用分部积分：,得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,乘 并沿杆长对 x 积分：,同理,乘 并沿杆长对 x 积分：,相减：,时,则必有：,杆的主振型关于质量的正交性,进而：,杆的主振型关于刚度的正交性,连续系统的振动/杆的纵向振动,关于质量的正交性,关于刚度的正交性,恒成立,令：,第 i 阶模态主质量,第 i 阶模态主刚度,第 i 阶固有频率：,主振型归一化：,正则振型,则第 i 阶主刚度：,合写为：,连续系统的振动/杆的纵向振动,杆的纵向强迫振动,采用振型叠加法进行求解,强迫振动方程：,初始条件：,令：,正则坐标,代入方程：,利用正交性条件：,第 j 个正则坐标的广义力,连续系统的振动/杆的纵向振动,模态初始条件的求解,得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力,可表达成分布力形式：,正则坐标的广义力：,前述外部激励为分布力,连续系统的振动/杆的纵向振动,例：等直杆,自由端作用有：,为常数,求：杆的纵向稳态响应,连续系统的振动/杆的纵向振动,解：,一端固定，一端自由,边界条件：,固有频率：,模态函数：,代入归一化条件：,模态广义力：,第 i 个正则方程：,正则坐标的稳态响应：,杆的稳态强迫振动：,当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象,连续系统的振动/杆的纵向振动,连续系统的振动/杆的纵向振动,例：,一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集中力，如图所示。,试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？,连续系统的振动/杆的纵向振动,边界条件：两端固定,初始条件：,模态函数：,解：,杆的自由振动方程：,固有频率：,连续系统的振动/杆的纵向振动,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：,连续系统的振动/杆的纵向振动,初始条件：,应用位移初始条件：,应用速度初始条件：,连续系统的振动/杆的纵向振动,连续系统的振动/杆的纵向振动,系统响应：,连续系统的振动/杆的纵向振动,思考题：,有一根以常速度 v 沿 x 轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式。,在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。,提示：,连续系统的振动/杆的纵向振动,右半部分为一端固定、另一端自由的杆。,边界条件：,杆的自由振动方程：,初始条件：,自己推导！,连续系统的振动/杆的纵向振动,例：有一根 x=0 端为自由、x=l 端处为固定得杆，固定端承受支撑运动,为振动的幅值,试求杆的稳态响应。,连续系统的振动/杆的纵向振动,解：,方程建立,微段分析,应变：,内力：,达朗贝尔原理：,杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移,连续系统的振动/杆的纵向振动,令：,代入方程：,即：,设解为：,为归一化的正则模态,代入方程，得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,利用正交性：,连续系统的振动/杆的纵向振动,模态稳态解：,连续系统的振动/杆的纵向振动,连续系统的振动/杆的纵向振动,杆振动分析小结,1.建立动力学方程,2.根据边界条件求解固有频率和模态,3.变量分离,4.代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程,5.物理空间初始条件转到模态空间,6.模态空间方程求解,7.返回物理空间，得解,模态叠加法,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法,梁的弯曲振动,动力学方程,考虑细长梁的横向弯曲振动,梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内,在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响,外载荷作用在该平面内,梁在该平面作横向振动（微振）,这时梁的主要变形是弯曲变形,伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）,f(x,t):单位长度梁上分布的外力,m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩,梁参数：,I 截面对中性轴的惯性积,单位体积梁的质量,S 梁横截面积,E 弹性模量,外部力：,假设：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,动力学方程,f(x,t):单位长度梁上分布的外力,m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩,微段受力分析,令：,y(x,t):距原点x处的截面在t时刻 的横向位移,截面上的剪力和弯矩,微段的惯性力,微段所受的外力,微段所受的外力矩,连续系统的振动/梁的弯曲振动,力平衡方程：,即：,以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：,略去高阶小量：,材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：,变截面梁的动力学方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,变截面梁的动力学方程：,等截面梁的动力学方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,固有频率和模态函数,变截面梁的动力学方程：,讨论梁的自由振动,自由振动方程：,根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：,代入自由振动方程：,对于等截面梁：,通解：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,等截面梁的自由振动方程：,梁的主振动：,通解：,代入，得：,第 i 阶主振动：,无穷多个,和 由系统的初始条件确定,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,常见的约束状况与边界条件,（1）固定端,挠度和截面转角为零,（2）简支端,挠度和弯矩为零,（3）自由端,弯矩和剪力为零,连续系统的振动/梁的弯曲振动,例：求悬臂梁的固有频率和模态函数,解：,一端固定，一端自由,边界条件,固定端：挠度和截面转角为零,自由端：弯矩和截面剪力为零,得：,以及：,非零解条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,简化后，得：,频率方程,当 i=1,2,3时,解得：,当 时,各阶固有频率：,对应的各阶模态函数：,其中：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,铅垂梁的前三阶模态形状,第一阶模态,第二阶模态,第三阶模态,一个节点,两个节点,无节点,连续系统的振动/梁的弯曲振动,例：简支梁的固有频率和模态函数,解：,一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰,固定铰：挠度和截面弯矩为零,滑动铰：挠度和截面弯矩为零,得：,以及：,频率方程：,固有频率：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,频率方程：,固有频率：,模态函数：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,例：两端自由梁的固有频率和模态函数,背景：导弹飞行,系统类别：半正定系统,存在刚体模态,导弹飞行1,导弹飞行2,连续系统的振动/梁的弯曲振动,频率方程：,模态函数：,其中：,当 i=1,2,3时,解得：,当 时,自由端：弯矩和截面剪力为零,当 时,对应刚体模态,连续系统的振动/梁的弯曲振动,第二阶模态,第三阶模态,第四阶模态,第五阶模态,自由梁的模态形状,连续系统的振动/梁的弯曲振动,例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,连续系统的振动/梁的弯曲振动,解：,梁的自由振动方程：,边界条件,固定端：,自由端：,模态函数：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,连续系统的振动/梁的弯曲振动,非零解条件：,频率方程：,求得：,对应的各阶模态函数：,代入：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,第一阶模态：,第二阶模态：,0.560,例：悬臂梁,一端固定，另一端有弹性支撑,边界条件,固定端：挠度和截面转角为零,弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等,弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比,弹簧一：卷簧，与截面转角成正比,弯矩平衡条件：,剪力平衡条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,固定端：,弹性支撑端：,由固定端条件解得：,由弹性支撑固定端条件解得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,或,非零解条件导出频率方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,（1）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形,连续系统的振动/梁的弯曲振动,讨论：,（2）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形,连续系统的振动/梁的弯曲振动,讨论：,例：悬臂梁自由端附有质量,求频率方程,解：,固定端：,自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡,利用同上述算例相同的方法，得频率方程：,其中：,为集中质量与梁质量之比,为梁质量,连续系统的振动/梁的弯曲振动,说明：,以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）,若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响,铁木辛柯梁（Timoshenko beam）,考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低,连续系统的振动/梁的弯曲振动,模态函数的正交性,梁若为等截面，则：,变截面梁的自由振动方程：,主振动：,代入，得：,设：,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,利用分部积分：,在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,则有：,主振型关于质量的正交性,（1）,（2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,由（4）、（5）式，得：,主振型关于刚度的正交性,连续系统的振动/梁的弯曲振动,如果 i=j,恒成立,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,（1）,（2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,连续系统的振动/梁的弯曲振动,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,时,时,主振型中的常数按下列归一化条件确定：,正则振型,正则振型的正交性：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,梁横向振动的强迫响应,梁的横向强迫振动方程：,令：,代入：,由正交性条件，得：,第 j 个正则坐标方程,第 j 个正则坐标的广义力,由分部积分：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,梁初始条件的处理,假定梁的初始条件为：,代入：,第 j 个正则坐标方程：,第 j 个正则模态响应：,得到 后，即可得到梁的响应,连续系统的振动/梁的弯曲振动,如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,中点受常力P作用产生静变形,例：简支梁,求：当P突然移出时梁的响应,解：,由材力得初始条件:,梁中点的静挠度,连续系统的振动/梁的弯曲振动,梁两端简支,固有频率：,振型函数：,代入归一化条件：,模态初始条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,模态初始条件：,没有激振力，正则广义力为零,正则广义力,模态响应：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,例：简支梁,求：梁的响应,中点受力矩 作用,连续系统的振动/梁的弯曲振动,解：,由上例知：,固有频率：,振型函数：,正则广义力：,第 i 个正则方程：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,例：悬臂梁,自由端作用有正弦力,求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,解：,强迫振动方程：,模态函数：,设解为：,代入方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,利用正则模态的正交性条件：,模态稳态解：,梁的响应：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,梁的响应：,梁自由端的响应,令 x=l：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,例：简支梁，左端承受正弦支撑运动,试求梁的响应。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,解：,梁的振动方程：,解释：,微段分析,力平衡方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：,略去高阶小量，得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：,梁的振动方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,连续系统的振动/梁的弯曲振动,代入方程：,令：,即：,即：,设解为：,为归一化的正则模态,连续系统的振动/梁的弯曲振动,代入方程，得：,利用正交性：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,模态稳态解：,简支梁固有频率：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,代入：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,思考题：悬臂梁，右端简支。,试求梁的响应。,右端承受支撑运动,连续系统的振动/梁的弯曲振动,本章结束谢谢大家,
