行列式典型例题.ppt

第五节 典型例题,n阶行列式的计算是学习线性代数的基础，在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的基本方法是：,1.用n阶行列式的性质把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。,2.用n阶行列式的展开定理，把行列式按某一行（列）展开，即化高阶行列式为低阶行列式来计算。(Laplace定理),3.其他方法：对于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.,证明,用数学归纳法,证明范得蒙(Vandermonde)行列式,例1,(1),n-1阶范德蒙行列式,注意：范德蒙行列式是等于零a1,a2,an中至少有两元素相等.,例2计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知,例3,计算n阶行列式,加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数.,这种形式的行列式简称“两边加一对角线”行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值，所以,例4,计算n阶行列式,解,将左上角的x改写为(xa)a，第一列的(a)均改写为0(a)，于是第一列各元素均为两项之和，于是,即,（1）,利用类似的方法，可得,（2）,故从式（1）与（2）中可以消去Dn-1,例5,计算n阶行列式,解法1,化为三角行列式,此题的特点与2例6相同.把各行都加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得,(-a),(-a),(-a),解法2,化为两边加一对角线行列式,(-1),(-1),(-1),加边法,将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。,解法3,(-1),(-1),(-1),把行列式的第2、3、n+1列分别提出公因子x-a，得,解法4,递推法,将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然后将Dn拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系,例6 计算行列式,解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.,=,=n+1.,例7用行列式定义计算,解,