微积分第四讲.ppt
微积分第四讲,马黎2014.5.6,复习导数计算新授1.高阶导数和微分计算；2.导数应用。,引例 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,y=f(x),C,T,O,Y,X,M,N,x0,x,切线MT的斜率为：,导数的几何意义,基本导数公式,导数计算法则,作业一 3计算下列函数的导数或微分：,10分考题,高阶导数,微分,作业一 3计算下列函数的导数或微分：,10分考题,新授导数的应用导数的几何意义：,一、函数的单调性与极值,一)函数的单调性与极值,这说明，可导函数的单调性与导数的正负密切相关反过来，能否利用导数的符号判断函数的单调性呢？,考试3分题,二、函数的极值,牛顿的瞬时速度,二、函数的极值,三、函数的最值,求连续函数在闭区间上最值的一般步骤：1求驻点和不可导点2求驻点、不可导点以及区间端点处的函数值，比较大小，即得最大值或最小值,四、经济分析中的常见函数,见课本P25页见课本P135页,五、经济应用题（20分考题）,（本题为作业四 7.求解下列经济应用问题的（1）小题）,五、经济应用题（20分考题）,（本题为作业四 7.求解下列经济应用问题的（2）小题）,将数学引入经济学的第一人-保罗萨缪尔森（Paul A.Samuelson）（1915-2009）,保罗萨缪尔森，1970年诺贝尔经济学奖获得者，是当代凯恩斯主义的集大成者，经济学的最后一个通才。他于16岁时进入芝加哥大学，之后在哈佛大学取得硕士和博士学位。25岁时成为麻省理工学院经济学助理教授，32岁时成为正教授，并一直在麻省理工学院任经济学教授。,2009年12月13日逝世。美国经济研究局主席在悼词中说道：他将数学分析方法引入经济学，帮助经济困境中上台的肯尼迪政府制定了著名的“肯尼迪减税方案”，并且写出了一部被数百万大学生奉为经典的教科书经济学。如果经济学没有萨缪尔森，人们就会象在牛顿出现之前处理力学问题那样，茫然无措，艰辛无比。,回顾萨缪尔森的一生，可谓一经济结下了不解之缘，以经济第一次亲密接触是1931年，世纪经济处于大萧条之中；最后一次与经济学会面是2009年，遭遇2008年经济危机的世界经济复苏曙光初现，“生于危机，故于危机”，为经济而生的萨缪尔森真正做到了善始善终。,1932年，保罗萨缪尔森考入芝加哥大学，专修经济学。此时的经济学发展，就如萨缪尔森在1985年2月的一次演讲时所说：“1932年我开始在芝加哥大学攻读经济学时，经济学还只是文字的经济学。”萨缪尔森毕业后在哈佛大学继续攻读学业，在26岁那年取得博士学位。其博士学位论文经济理论操作的重要性获哈佛大学威尔斯奖，以此为基础形成的经济分析基础为萨缪尔森赢得了诺贝尔经济学奖。当时评奖委员会说：“在提升经济学家理论的科学分析水平上，他（萨缪尔森）的贡献要超过当代其他任何一位经济学家，他事实上以简单语言重写了经济学理论的相当部分。”,1947年在其经济分析基础一书中提出比较静态经济分析方法，同年获得约翰贝茨克拉克奖。1948年出版经济学，它是美国第二本以凯恩斯学派为主的经济学教科书，也是第一本成功推广凯恩斯学派的教科书。它成为史上最畅销的经济学教科书，现今是19版，曾译成40种语言，全球卖出接近四百万本。他使麻省理工学院的经济学系成为全美国的经济学重镇。,建言中国,萨缪尔森于2008年11月撰文并在他去世后、在中欧商业评论发表，该文被一些评论者成为他的“中国遗嘱”。文章称，到2050年，十几亿中国人将会创造全球最高的年度总计实际国民生产净值。他建议：中国将来应该以奉行“适度中间路线”的经济体作为自己的发展目标。,他指出，纯粹的资本主义不可能实现自我监管。它始终会造成不平等性的加剧和宏观经济波动的不稳定性。中间路线要求对市场和企业进行民主监管。虽然理性监管永远无法做到完美，但它是一个优于其它的目标。并且，他向美国读者指出，中国未来的成功可能会受到美国爱国人士的欢迎。经济绝对不是零和博弈。瑞士财富的增多未必会以美国财富的减少为代价。,对数学的认识,1.数学来源于人类实践，但从实践中抽象出来以后，又有它相对的独立性和稳定性。2.推动数学的发展的动力，有实践及其它学科的需要和工程技术的需要，这种来自数学外部的动力；还有来自数学内部的巨大动力，特别是当它发展到一定程度以后，数学内部提出了大量重要的问题，在相当大的程度上吸引了数学家的兴趣，他们通过对数学内部提出的问题的研究，发展和完善数学理论。这样产生的数学理论，往往离现实需要和实际应用相当遥远；有的几十年，有的几百年，有的几千年才发现它们的应用。,3.理论数学不仅“有用”，而且理论数学之“有用”，往往是重大的“有用”；数学理论可能联系的“实际”，有时会远远超出人们的想象，甚至常常是数学理论出现时尚未出现的“实际”。而理论数学的这种“应用”，多次大大推动了世界科学技术的发展。,4.数学科学是各门自然科学和社会科学的公共基础，数学应用的领域不断扩大，数学不仅是科学，也直接走到前台，成为技术，在第一线发挥重要作用，“高技术本质上是数学技术”的观点也普遍被人们接受。5.一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量。,小结,导数的应用主要考1.函数单调性（单调区间）、驻点3分2.经济应用（20分）解题关键是找出所要求最值的函数表达式,
