微积分人大3版82.ppt

8.2 多元函数的概念,一、多元函数的概念,二、二元函数的定义域,三、二元函数的几何意义,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、多元函数的概念,一个实际问题：用铁板做成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省。,注意：若高为h，则 xyh=2,下页,上述问题的等价提法是：当 x和 y取何值时，S 的值最小。,一、多元函数的概念,一个实际问题：用铁板做成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省。,下页,一、多元函数的概念,根据上述关系，对任意 x0,y0，变量S总有确定的值和(x,y)对应，我们称变量S是变量x、y 的二元函数。,一个实际问题：用铁板做成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省。,下页,二元函数的定义：,定义8.2 设D是xOy平面上的一个点集。如果对于每个点 P(x,y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量x、y 的二元函数，记为z=f(x,y)，其中D 称为定义域，x、y 称为自变量，z 称为因变量。,对于(x0,y0)D，所对应的 z 的值记为 z0=f(x0,y0)，称为当(x,y)=(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的函数值。,集合 z|z=f(x,y)，(x,y)D称为函数的值域。,提问：如何给出n(n3)元函数的定义？,下页,提示,例1 设z=x2+y2。z=x2+y2是以x、y为自变量，z为因变量的二元函数。函数的定义域为D(f)=(x,y)|x,y(-,+)。函数的值域为Z(f)=0,+)。例2 设有一个长方体，高为h，底是边长为b的正方形，则其体积为V=b 2h(b0,h0)。V=b 2h是二元函数，自变量为h、b，因变量为 V。函数的定义域为D(f)=(b,h)|b0，h0；函数的值域为Z(f)=(0,+)。,下页,函数。,首页,函数z=f(x,y)的定义域在几何上表示一个平面区域。所谓平面区域可以是整个xOy平面或者是xOy平面上由几条曲线所围成的部分。,下页,二、二元函数的定义域,函数z=f(x,y)的定义域在几何上表示一个平面区域。所谓平面区域可以是整个xOy平面或者是xOy平面上由几条曲线所围成的部分。,下页,二、二元函数的定义域,围成平面区域的曲线称为该区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界的区域称为开区域。,下页,二、二元函数的定义域,围成平面区域的曲线称为该区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界的区域称为开区域。,下页,二、二元函数的定义域,围成平面区域的曲线称为该区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界的区域称为开区域。,下页,二、二元函数的定义域,如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为有界区域。,有界区域,有界区域总可以包含在一个以原点为圆心的相当大的圆域内。,无界区域,下页,练习,二、二元函数的定义域,函数z=ln(x+y)的定义域为D1=(x,y)|x+y0，它是无界开区域。,函数zarcsin(x2y2)的定义域为D2=(x,y)|x2y21，它是有界闭区域。,练习,二、二元函数的定义域,首页,设z=f(x,y)的定义域为D，则对于任意 M(x,y)D，可唯一确定空间的一点 P(x,y,f(x,y)。,所有这样确定的点的集合(x,y,z)|z=f(x,y)，(x,y)D就是函数 z=f(x,y)的图形。二元函数的图形是一张曲面。,M(x,y),z=f(x,y),P(x,y,f(x,y),下页,三、二元函数的几何意义,例4 由球面方程 x2+y2+z2=R2确定两个函数：,定义域为D=(x，y)|x2y2R2。它们的图形分别为上半球面和下半球面。,下页,例5 函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面。,下页,例6 函数 的图形是锥面。,结束,