微积分人大3版77.ppt

7.7 某些初等函数的幂级数展开式,一、直接展开法,函数ex及sin x的展开式,二、间接展开法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、直接展开法,如果函数f(x)在x=0的各阶导数都存在，且极限,则可将函数f(x)展开为幂级数：,。,下页,直接展开法,将f(x)展成马克劳林幂级数的步骤如下：,(1)求出f(x)在x=0的各阶导数值f(k)(0)，若函数f(x)在 x=0的某阶导数不存在，则f(x)不能展开为幂级数。,(2)写出幂级数,并求其收敛区间。,(3)考察在收敛区间内余项R n(x)的极限是否为0，如果为0，则有展开式,否则函数f(x)不能展成幂级数。,下页,例1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数。,解：因为f(n)(x)=ex，所以f(n)(0)=1。,级数的收敛区间为(-,+)，,所以有展开式,于是有幂级数,因为在区间(-,+)内有,下页,用直接展开法还可以得到下例幂级数展开式：,对任意实数m，有二项展开式：,练习,首页,例如,间接展开法是以已知的函数的幂级数展开式为基础，利用幂级数的性质、变量变换等方法，求出函数的幂级数展开式。间接展开法中常利用几何级数：,令q=-x，则得,下页,二、间接展开法,例如,间接展开法是以已知的函数的幂级数展开式为基础，利用幂级数的性质、变量变换等方法，求出函数的幂级数展开式。间接展开法中常利用几何级数：,令q=-x2，则得,提问：如何展开函数？,下页,二、间接展开法,例2 将ln(1+x)展开成x的幂级数,因为当x=-1和x=1时，级数分别成为,前者发散，后者收敛，所以收敛区间为(-1x1)。于是,。,下页,例3 将arctan x展开成 x的幂级数,因为当x=1和当x=-1时，级数分别成为,它们都是收敛的，所以收敛区间为-1,1。于是,下页,例4 将函数cos x展成x的幂级数。解：因为(sin x)=cos x，所以由sin x的幂级数展式得,下页,解：在展开式,下页,例6 将函数sin2x 展成x的幂级数。,所以,下页,收敛区间为(-1,1)(-2,2)=(-1,1)。,所以,下页,练习,结束,