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8.1 空间解析几何简介,一、空间直角坐标系,三、曲面与方程,二、空间两点间的距离,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、空间直角坐标系,O,过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位。它们的正向通常符合右手规则。这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系。,空间直角坐标系：,练习,下页,三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。,坐标面：,xOy面,yOz 面,zOx面,下页,卦限：,三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。,下页,卦限：,三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。,第一卦限,第二卦限,第三卦限,第四卦限,下页,卦限：,三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。,第五卦限,第六卦限,第七卦限,第八卦限,下页,练习,点的坐标：,P,R,Q,设M为空间一点，过点M作三个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，得到三个平面在x轴、y轴、z轴上的交点P、Q、R。,设OP=a、OQ=b、OR=c，则点M唯一确定了一个三元有序数组(a,b,c)。,反之，对任意一个三元有序数组(a,b,c)，也可以唯一地确定空间的一个点M。,三元有序数组(a,b,c)称为点M的坐标，记为M(a,b,c)。,首页,练习,二、空间两点间的距离,因为,|M1M2|2,=|M1Q|2+|M2Q|2,=|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2，,所以,|M1Q|=|z2z1|。,|PQ|=|y2y1|，,设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，求两点间的距离d。,|M1P|=|x2x1|，,作一个以 M1和 M2 为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面。,注意：,下页,二、空间两点间的距离,设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为,特殊地，点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离为,下页,二、空间两点间的距离,设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为,例1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。,所以|M2M3|M1M3|，,|M1M3|2,|M2M3|2,解：因为|M1M2|2,(74)2(13)2(21)214，,(57)2(21)2(32)26，,(54)2(23)2(31)26，,即DM1M2M3为等腰三角形。,下页,二、空间两点间的距离,设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为,解：设所求的点为M(0,0,z)，则有|MA|2|MB|2，,例2 在 z 轴上求与两点 A(4,1,7)和 B(3,5,2)等距离的点。,即(04)2(01)2(z7)2(30)2(50)2(2z)2。,首页,三、曲面与方程,如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0，那么方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形。,F(x，y，z)0,M(x，y，z),下页,例3 一动点M(x,y,z)与二定点M1(1,-1,0)、M2(2,0,-2)的距离相等，求此动点M的轨迹方程。解：依题意有|MM1|=|MM2|，由两点间距离公式得,化简后可得点M的轨迹方程为 x+y-2z-3=0。,动点M的轨迹是线段M1M2的垂直平分面，因此上面所求的方程是该平面的方程。,下页,例4 求三个坐标平面的方程。解：注意到xOy面上任一点的坐标必有z=0，而满足z=0的点也必然在xOy面上，所以xOy面的方程为z=0。同理，yOz面的方程为x=0；zOx面的方程为y=0。,例5 作z=c(c为常数)的图形。,解：方程z=c中不含x、y，这意味着x与y可取任意值而总有z=c，其图形是平行于xy平面的平面。,M(x,y,c),下页,前面讨论了几个平面的方程，它们都是一次方程，可以证明空间内任意一个平面的方程为三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D均为常数，且A、B、C不全为0。,平面方程：,下页,球面方程：,例6 求球心为点M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程。,化简得球面方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R 2。,解：设M(x,y,z)为球面上任意一点，则有|MM0|=R，,由距离公式有,下页,球面方程：,球心为点M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程为,(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R 2。,特殊地，球心为原点的球面方程为 x2+y2+z2=R 2。,上半球面方程为：,下半球面方程为：,下页,例7 作曲面x2+y2=R 2的图形。,解：方程x2y2R2 在 xOy 面上表示以原点为圆心、以R为半径的圆。,在空间直角坐标系中，任意作一条通过 xOy 面上的圆 x2y2R2且平行于 z 轴的直线，则直线上的点都满足方程 x2y2R2，即直线在 x2y2R2所表示的曲面上。,因此，这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿xOy 面上的圆x2y2R2移动而形成的圆柱面。,直线 l 叫做它的母线，x2y2R2叫做它的准线。,下页,例8 作曲面z=x2+y2的图形。,z=x2+y2,解：当c0时，平面z=c与曲面 的截痕为圆 x2+y2=c，z=c。,我们称曲面z=x2+y2为旋转抛物面。,平面x=a或y=b与曲面的截痕均为抛物线。,当c0时，平面z=c与曲面无截痕。,当c=0时，平面z=c与曲面的截痕只为原点(0,0,0)。,下页,例9 作曲面 z=y2-x2的图形。,解：当c0时，平面z=c与的截痕为双曲线 y2-x2=c，z=c。,平面y=c与曲面的截痕为抛物线 z=c2-x2，y=c。,平面x=c与曲面的截痕为抛物线 z=y2-c2，x=c。,这个曲面称为双曲抛物面。,当c=0时，平面z=c与曲面的截痕为直线 y-x=0，z=0；y+x=0，z=0。,结束,
