微积分人大3版75.ppt

7.5 幂级数,一、幂级数和幂级数的收敛区间,二、幂级数的性质,幂级数收敛半径的确定,幂级数逐项求导与逐项积分,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、幂级数和幂级数的收敛区间,幂级数：,其中an(n=0,1,2,)都是常数，叫做幂级数的系数。,。,练习,下页,收敛域：使幂级数收敛的点x所构成的集合称为幂级数的收敛域。,和函数：对于收敛域内每一点 x，幂级数都有一确定的和，它是变量 x 的函数，称为幂级数的和函数。,一、幂级数和幂级数的收敛区间,幂级数：,下页,(3)如果l=0，则 l|x|=01，级数对任何x都收敛。,幂级数的收敛区间与收敛半径：,()-R R,下页,令,则幂级数的收敛域是一个以原点为中心从-R到R的区间，叫作幂级数的收敛区间，其中R叫作幂级数的收敛半径。,幂级数的收敛区间与收敛半径：,()-R R,下页,定理7.12 如果幂级数,的系数满足条件,则这个幂级数的收敛半径为,幂级数收敛半径的确定：,下页,解：因为,所以级数的收敛半径为R=1。,级数发散。,因此，收敛区间为(1,1。,下页,得级数的收敛半径R=1。,显然当|x|=1时，级数是发散的，,所以收敛区间为(-1,1)。,下页,解：因为,所以级数的收敛半径为R=+，,收敛区间为(-,+)。,下页,解：由,得级数的收敛半径R=1。,当|2x+1|1，即-1x0时，级数绝对收敛；,所以级数的收敛区间为-1,0)。,练习,首页,幂级数的和与差：,R1及R2，则,其收敛半径RminR1,R2)。,二、幂级数的性质,下页,逐项求导和逐项积分后收敛半径不变。,(1)在收敛区间(R,R)内和函数s(x)是连续的；(2)在收敛区间(R,R)内有逐项求导公式：,(3)在收敛区间(R,R)内有逐项积分公式：,；,幂级数的连续性、可微性和可积性：,下页,下页,当x(-1,1)时，,练习,结束,