微积分05导数应用.ppt

高等数学微积分,西南财经大学经济数学系孙疆明,市,精,光,第十讲 微分中值定理,一、费尔马(Fermat)定理,二、罗尔(Rolle)定理,三、拉格朗日(Lagrange)定理,四、柯西(Cauchy)定理,一、费尔马(Fermat)定理,（一）极值的定义：,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,（二）费尔马定理(极值必要条件),证,微分中值定理的引入,二、罗尔(Rolle)定理,三、拉格朗日(Lagrange)定理,四、柯西(Cauchy)定理,怎样证明罗尔定理？,先利用形象思维去找出一个C点来！,想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！,罗尔定理的证明：,怎样证明拉格朗日定理？,拉格朗日定理若添加条件:,则收缩为罗尔定理；,罗尔定理若放弃条件:,则推广为拉格朗日定理。,知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题转化为已掌握的老问题。即 寻求未知事物通向已知领域的“桥”！,因此想到利用罗尔定理！,满足罗尔定理条件,桥,拉格朗日定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,拉格朗日公式各种形式,推论1：,证,推论2：,推论3：,推论4：,柯西中值定理的证明：,构造辅助函数,费尔马定理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,零点问题,以下证明恰好有三个根,该方程实根个数就是两条曲线,首先证明至少有三个根,计算表明,根据介值定理,因此方程至少有三个根,然后证明方程最多有三个根,用反证法,根据洛尔定理,矛盾！,综上所述，方程恰好有三个实根,直观观察可以启发思路,所以最小值一定在区间内部达到,证,证明思路直观分析,例,证,根据连续函数的最大最小值定理,证,证,证,证,证,证,极值与凸性,函数的极值,函数的凸性,渐近线,函数的作图,最值,曲率,一、极值与最值,极值的第一充分条件(导数形式),定理1：,（二）极值的第二充分条件,定理2：,证(1),（二）函数的最大、最小值,(B)最大、最小值应用问题,解,一个可口可乐饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高(约为6厘米和12厘米),胖的部分的直径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2厘米.怎样测量比较简捷？(用一条窄的薄纸条,绕饮料罐相关部分一圈测得周长,再换算得半径和直径).可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升(即355 立方厘米)。,饮料罐中的数学,唯一驻点,返回,返回,返回,返回,返回,解,解,二、函数的凸性,何谓凸函数？,（一）凸性定义：,（二）凸性的判定,定理1：(用一阶导数判定函数的凸性),证 必要性,返回,返回,定理2：(用二阶导数判定函数的凸性),定理3：(用切线位置判定函数的凸性),切线位于曲线下方,（三）拐点,定理：（拐点必要条件）,三、曲线的渐近线,曲线渐近线的求法,定理：,证 必要性,证充分性 假设下列两个条件同时成立,四、函数作图,解,拐点,拐点,极大,返回,返回,返回,返回,解,返回,返回,解,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,