微分方程组的定性理论.ppt
2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,微分方程组的定性理论,平面自治系统的基本概念平面定性理论简介,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,平面系统基本概念,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,平面自治系统的三个基本性质,积分曲线的平移不变性；轨线的唯一性；如果系统满足解的存在唯一性定理得条件，则在相平面上的任一点存在一条且唯一一条轨线群的性质(暂不讲)；,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,群的定义(暂不讲),设为二元代数系统，满足如下性质：（1）在G中是可结合的，即a,b,cG，都有(a b)c=a(b c)；（2）G中存在关于的幺元e，即e G，使得a G，都有e a=a e=a；（3）G中每个元素a都有逆元，即aG，都a-1G，使得a=a=e。则我们称二元代数系统为群（Group）。,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,自治系统的轨线的类型,不动点闭轨自不相交的非闭轨线,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,星形结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,单向结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,结点的特征,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,鞍点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,鞍点的特征,存在一个邻域，使得其中恰有两条轨线（不一定是直线）沿着相反的方向（不一定是坐标轴的方向）进入此不动点；又恰有另外两条轨线沿着另一相反的方向(不必与前一方向垂直，但必与前者不一致)离开此不动点；一切其他轨线当t增加或减少时都将离开此邻域,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,焦点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,焦点的特征,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,中心的特征,存在一个被闭轨线(但不一定是圆)所充满的领域，这族闭轨线一个套一个，逐渐缩小而趋于中心点，但没有哪一条闭轨线通过中心点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,高阶不动点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,高阶不动点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,一般的平面常系数线性系统的不动点附近的轨线分布,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,变换 的性质,坐标原点不变；闭曲线经过变换后，所得曲线仍未闭曲线；代数曲线的次数保持不变直线变成直线 曲线保持形状不变,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,结论,轨线结构的不变性上述各种情形下的轨线，经过线性变换后得到的方程(1)的轨线，其结点型、鞍点型、焦点型以及中心型的轨线结构分布是不变的趋向原点的方向不变结点焦点的稳定性不变,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,初等不动点分类总结,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,如何作出相图？,先判断不动点的类型和稳定性,然后利用以下性质,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,实例,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,非线性方程组的不动点(奇点)分类,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,问题：,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,星型和单向（退化）结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,平面微分方程的孤立的周期轨称为极限环。如果某周期轨两侧的轨线都以螺旋式趋近于周期轨，则此周期轨称为是稳定的（或吸引的）。如果某周期轨两侧的轨线都以螺旋式远离周期轨，则此周期轨称为是不稳定的（或排斥的）。,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,
