微分方程建模中的若干问题.ppt

微分方程建模中的若干问题,数模竞赛辅导札记,1.微分方程建模中假设的 提出 与 修改 问题,“商品价格变化的两大特点”：平衡价格应是 商品供需平衡 的价位；趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征,建立在 市场经济 下 价格变动模型,具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低 的价格将会 自动趋于平衡。,建模目的：建立一个价格随时间演变,以 阻尼振荡 方式 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。,(3)商品价格的变化速度 p(t)与市场的 过剩需求 D(t)S(t)有关.假定它们之间成 正比:,(2)商品供应 S(t)随价格 p(t)的增大而上升.假定它们之间的关系也近似为 线性关系;,建模假设：,(1)商品需求 D(t)随价格 p(t)的增大而下降.假定它们之间的关系近似为 线性关系:,模型建立：,模型分析：,当,时,当,时,结论未能达到建模目的！,说明商品价格是 单调 地趋向平衡价格.,建模假设的 修改：,(3)*商品价格的变化速度 p(t)与市场的 过剩需求 D(t)S(t)对时间 t 的 累积量有关(即考虑过剩 需求的时间滞后效应).,(2)商品供应 S(t)随价格 p(t)的增大而上升.假定它们之间的关系也近似为 线性关系;,(1)商品需求 D(t)随价格 p(t)的增大而下降.假定它们之间的关系近似为 线性关系:,假定它们之间成 正比:,模型再建立：,商品价格随时间演变而处在 等幅震荡 之中。,结论还未能达到建模目的！,建模假设的 再次修改：,假设(1)、(2)不变；,(3)*商品价格的变化速度 p(t)不仅与市场过剩需求 D(t)S(t)对时间 t 的累积量有关,还与当时的价格与平衡价格 p*的 偏差程度 有关(即考虑健全的市场有政府宏观调控因素),假定它们之间也成 正比，且比例系数,仍假定它们之间 成 正比;,(强调政府宏观调控只是微调)。,模型又一 次建立：,商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡 现象。,该结论达到建模目的！模型可采用,2.微分方程模型在 模型分析 中的主要问题之一 稳定性分析,用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析 中的一个 重要问题是：当时间充分长后，动态过程的 变化趋势 是什么？,微分方程模型中,方程(组)+初始条件 解,初始条件的作用在于确定解,它的微小变化会产生不同的 解，换言之，对解的发展性态变化,往往具有影响作用.,问题是这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在 的,还是当时间充分大以后,影响作用会“消逝”?,（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义,有时候,初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后,产生显著的差异,这时称 系统是不稳定 的;,有时候,初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失,这时称该 系统是稳定 的.,在实际问题中,初始状态不能精确地而只能近似地确定,所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。,也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中,长远 来看,最终发展结果与精确的初始状态究竟如何,两者 之间没有多大关系,初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。,微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 或 不稳定 的结论。,研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。,在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为 自治系统 的方程。,自治方程 是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如,自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点。,的 平衡点 是指代数方程,的根（可能不止一个根）；,的 平衡点 是指代数方程组,的解（可能不止一组解）。,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)从这个邻域 内的某个点 x(0)出发，满足:,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的；,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)，y(t)从这个邻域内的某个点 x(0)，y(0)出发，满足:,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的。,上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程组 解的 稳定性理论 结果可简介如下：,非线性方程(一个方程)情况,形式:x(t)=f(x(t),平衡点:解 f(x)=0,得 x=x0.注意:有时该方程的 根不止一个.,稳定意义:当 t 时,如 x x0,则称 x0 是稳定的 平衡点;否则称 x0 是不稳定平衡点.,由此,当 f(x0)0 时,x x0;当 f(x0)0 时,x+.,(c)一阶非线性问题的稳定性结论:根据有关数学理论,一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶 线性问题结论完全相同.,.,研究方法:(a)作 f(x)的线性替代(利用一元函数的泰勒展开式):f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)(x-x0);,(b)线性问题研究:求解 x=f(x0)(x x0),解得,非线性方程(两个方程)组情况,平衡点:解 f(x,y)=0,得 x=x 0 g(x,y)=0,y=y 0.,y(t)=g(x(t),y(t),形式:x(t)=f(x(t),y(t),稳定意义:当 t+时,如 x x0,y y0,则称(x0,y0)是稳定的平衡点;否则称(x0,y0)是不稳定平衡点.,上面的方程组有时可能不止一组解.,研究方法:作 f(x,y)与 g(x,y)的线性替代（利用二元函数 的泰勒展开式）:,f(x,y)fx(x0,y0)(x-x0)+f y(x0,y0)(y-y0);g(x,y)g x(x0,y0)(x-x0)+g y(x0,y0)(y-y0).,(b)线性问题研究:记 a1=f x(x0,y0),a2=f y(x0,y0),b1=g x(x0,y0),b2=g y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1 b2-a2 b1,并无妨设 x0=0,y0=0;,求解,其中 1,2 为特征方程 r 2+p r+q=0 的两根.,这里 1+2=-p,1 2=q,或写为,(1)当 p 0,q 0 时,如果 p2 4q 0，由 1+2=-p,1 2=q,推得 1 与 2 均为负数，,故当 t+时，e 1 t 与 e 2 t 均趋于零，系统稳定;,如果 p2 4q 0，由 1+2=-p,k=i 中 为负数（k=1，2），,故当 t+时，ek t=et（sint cost）（k=1，2）也均趋于零，系统仍为稳定的；,(2)当 p 0 时,如果 p2 4q 0，由 1+2=-p,可推出 1 与 2 中至少有一个为正数，,故当 t+时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个 趋于+，系统不稳定;,如果 p2 4q 0，仍由 1+2=-p,可推出 k=i（k=1，2）中 为正数，,故当 t+时,ek t=et（sint cost）（k=1，2）趋于+，仍可推出 系统不稳定。,(3)当 q 0 时,此时必定有 p2 4q 0，,此时 系统也必不稳定。,由 1 2=q,可推出 1 与 2 中至少有一个为 正数，,故当 t+时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个趋于+，,当 p 0,q 0 时,相应的平衡点是稳定的；,当 p 0 或当 q 0 时,相应的平衡点是不稳定的。,综述之，在线性方程组非临界（p 0)情况中,(C)非线性问题的 稳定性结论:,(i)若相应的线性问题是 稳定 的,则对应非线性问题也 是 稳定 的；,(ii)若相应的线性问题是 不稳定 的,则对应非线性问题 也是 不稳定 的.,在非临界情况下（p 0)，,微分方程稳定性理论 的应用实例,渔场防止捕捞过渡问题,建模目的：建立一个在有捕捞的情况下，渔场中鱼量 随时间变化的数学模型，藉此研究鱼量数 随时间变化的发展趋势。,建模假设：,(1)在无捕捞条件下，鱼量数 x(t)的增长服从 Logistic 规律：,(2)有捕捞时，单位时间的捕捞量 h 与渔场鱼量成正比：,模型建立与分析：,令,当 k r 时,f(x1)=-r+k 0,x2 为不稳定点；,当 k r 时,f(x1)=-r+k 0,x1 为不稳定点，f(x2)=r k 0,x2 为稳定点.,捕捞问题的深化 二元方程组情况,建模假设：,(1)在无捕捞条件下，鱼量数 x(t)的增长服从 Logistic 规律：,(2)有捕捞时，单位时间的捕捞量 h 与渔场鱼量成正比：,(3)捕捞时，捕捞率 k 与时间 t 有关，其关于时间的增长率与捕鱼获得的净利润成正比：,(4)鱼的销售单价与单位捕捞率的费用分别为常数 p 与 c：,模型建立与分析：,令,故平衡点(0,0)是 不稳定 的；,当 p N c 时,p 2 0,q 2 0;q 3 0;,(x2,k2)是稳定的，(x3,k3)是不稳定的；,当 p N c 时,q 2 0,q 3 0;,(x 2,k 2)是不稳定的，(x 3,k 3)是稳定的；,3.偏微分方程 建模问题,休渔期鱼群分布规律模型,建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。,建模假设：(1)海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；,海岸 0 外海 x,(2)规定休渔区域在沿海 l 公里以内；休渔边界 x=l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽；,(3)任何地点 x、任何时刻 t 的鱼群密度分布函数 u(x,t)为可微函数；,(4)初始时刻的鱼群密度分布函数 u(x,0)为已知函数 u 0(x)；,(5)t 时刻、x 处鱼群密度 u(x,t)的增长速度为 已知函数 f(u);,(6)t 时刻、x 处鱼群数向外游动的扩散量(x,t)与 u x(x,t)成正比，比例系数为常数 a 2：,这个假设类似于热量扩散问题中的 Fourier 法则。,建模过程 单位时间里，a,b 段上鱼群数的变化量为：,这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留 在 a,b 段内的鱼群数：,另一项为单位时间里，a,b 段内的新生鱼群数：,其中初边值 条件为：,0,l,x,t,这个偏微分方程的初、边值问题是 适定的，,即问题的解是 存在、唯一 的，且 连续依赖 于初边值数据。,4.自由边界问题,自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种 类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如 它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散 过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至 还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等 的经济现象之中。,（1）一相 Stefan 问题,考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融 化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟 建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。,建模假设：,（1）假定冰区域温度恒等于零度；,（2）假定水区域中热量传导服从 Fourier 定律，即,单位时间中高温点到低温点的热流量大小与两点 之间的温差成正比；,由此可推出以下等式：,（3）假定水的密度、比热 c、热传导系数 k 和 为了融化冰为水的潜热 L 均为常数。,取细棍的一小段 x,x+x,设细棍的截面积为 s 0 厘米2；,记 q(x,t)为热流密度（卡/秒 厘米2,单位时间内通过 单位面积 的热量），,则在 t 时间内，沿 x 方向流入小段 x,x+x 的总热量数近似为：q(x,t)s 0 t（卡）,流出小段 x,x+x 的总热量数近似为：q(x+x,t)s 0 t（卡）,流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升 高，这个热量差可以根据下式计算：,（x s 0）c u(x,t+t)u(x,t)（卡），,这样便可得：,根据 Fourier 定律，有：,这个方程称为热传导方程,在融化而成的水域里，水的温度 u(x,t)服从 热传导 方程：u t=a2 uxx,x(0,s0),t(0,+).,为求解这个偏微分方程，还需知道左、右边界值和初值。,在 左边界上 水温为已知函数：u(0,t)=u 1(t)0;,假定水温的 初值 为已知函数：u(x,0)=u 0(x)；,由于右边界端处的 热传导，冰在不断融化，故水域的 右边界是一条 移动边界，或称为 自由边界。,这条 自由边界 本身也是需要求解的 未知一元函数！,0,L,冰,水,x,t,s0,x=s(t),易知，在移动的右边界 s(t)上水温函数应满足：u(s(t),t)=0；,为了决定 自由边界 的位置，还需导出边界上另一个条件。,t1,t2,t3,t4,设在 t 时段内，移动边界向右移动了一段路程 x，,x,为了融化边界移动中消失的冰，,需要一份热量，其数量应是：,在 t 时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的 总热量根据 Fourier 定律，应是：,两者应该相等：,令 t 0，可得：,于是，融化水区域上任意点处温度 u(x,t)随时间 t 演变的模型为：,x,t,x=s(t),0,s0,偏微分方程理论研究证明了这个问题也是 适定 的。,（2）两相 Stefan 问题,如果冰区域温度不恒等于零度，该区域中也有热传导 过程，则一相 Stefan 问题就变成了两相 Stefan 问题。,x,t,x=s(t),0,s0,L,这个问题的 适定性 也已获得证明。,（3）细胞体内氧气的扩散与吸收问题,细胞体内氧气的会向周边 扩散，在 扩散 的同时，细胞 体也在 吸收 氧气以维持生命；如果细胞得不到氧气的 供给将会死亡。建立一个描绘该 扩散 吸收 过程的数 学模型。,为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。,建模假设：,（1）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大的左边 扩散 至 浓度小的右边；在扩散中，扩散流量 q 的大小与 左、右两点的氧气浓度 c 的差成正比；即：,（2）假定任何时刻，每单位立方体的细胞体 吸收 氧气 的速度为一常数 D；,（3）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气的细胞体 即行死亡，不再参与氧气扩散过程。,（k 为扩散系数）,细胞体末端,氧气,考虑细胞体在位置 x 处、长为 x 的一段细胞上扩散 和吸收氧气情况。,在 t 时段内，经扩散进入这段细胞内的氧气数量是:,经扩散流出这段细胞内的氧气数量是:,这段细胞内氧气的变化量是：,这段细胞氧气的吸收量是：,进入量、流出量、变化量和吸收量之间应有关系：,根据假设（1），,氧气扩散、吸收方程,0,x,t,s0,在细胞体左端，在 t=0 起断绝氧气输入，故有：,在细胞体右末端 x=s 处，始终有条件：,随着氧气的缺乏，右末端的细胞逐渐死亡，故有末端的位置随时间而变动，形成一条 自由边界：x=s(t).,氧气扩散、吸收问题：,寻求未知函数对：c(x,t)，s(t)，使得它们满足：,在初边至充分光滑情况下，这个问题的 适定性 也可证明。事实上，若该问题的充分 光滑解为 c(x,t)，令 u(x,t)=c t(x,t),则有,0,x,t,s0,关于 u(x,t),s(t)的自由边界问题，本质 上便化成为一个 Stefan 问题了。,