四章线系统的根轨迹分析.ppt

第四章 线性系统的根轨迹分析,4-1 根轨迹的基本概念4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则4-3 广义根轨迹4-4 迟后系统的根轨迹4-5 利用根轨迹分析系统的性能,例：已知单位反馈系统开环传递函 数，求K1从0变化时，系统闭环根轨迹,当K1从0到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连 续曲线-系统闭环根轨迹,解：系统闭环特征方程为：D(s)=S2+8S+K1=0 特征根为：S1,S2=-4,根轨迹如下：,实根-0,4-1 根轨迹的基本概念,1、K1从0变化，根轨迹不 会进入右半平面。即：无论如何该系统是稳定的,2、K116，根轨迹进入复平面。即：此时系统阶跃响应会振荡（d不为零）；K1越大振荡越厉害（小）、振荡频率越高（d大）,3、K1=16 时系统阶跃响应临界振荡,根轨迹提供的信息：,根轨迹可以提供有关系统性能的信息,一、绘制根轨迹的基本条件,4-2 绘制根轨迹的 基本条件和基本规则,系统闭环特征方程为：,系统闭环特征方程的根为：,幅值条件,幅角条件,幅角应满足：,左例：幅值应满足：,绘制根轨迹的两个基本条件:幅值条件和幅角条件,由于S是复数，所以D(s)也是复数；上式两边的幅值和幅角应分别相等；从而，得到绘制根轨迹的两个基本条件：幅值条件和幅角条件,规则二 根轨迹起始于开环极点，终止在开环零点,规则一 根轨迹连续且对称于实轴,因为K1连续变化；系数为实数，有复根必共轭,根据绘制根轨迹的两个基本条件，演绎出八条绘制根轨迹的基本规则；根据这些规则绘制根轨迹不必计算 特征根而只要做简单的计算和判断。,以 K1 为参变量的根轨迹：是K1 从0(起点)到(终点)变化时系统闭环极点在根平面上的轨迹起点和终点确定方法如下页：,二、绘制根轨迹的基本规则,根 轨 迹 法,K1从0变化，根轨迹起点在K1=0处,根轨迹终点在K1=处,根轨迹起始于开环极点 Pi,根轨迹终止在开环零点 Zj,根 轨 迹 法,不妨假设极点p1,p2,pm;分别终止在z1,z2,zm,n条轨迹从开环极点出发，只能有m条终止在开环零点,nm,另外n-m 条应终止何处？,余下n-m条根轨迹将终止在无穷远处,那麽，余下n-m个极点只能是S,即：终止在无穷远处,例如，上一节的二阶系统例子,根 轨 迹 法,规则三 实轴上的根轨迹,例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的 某点Sa是不是根轨迹上的点,由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：,各开环零、极点的幅角：,实轴上试验点右边的零、极点其幅角为180,幅角为零的零、极点在实轴上试验点左边,根 轨 迹 法,共轭零、极点的幅角其和为零,观察左边等式有如下结论：,要判断实轴上的 某点Sa是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件,实轴上的某一点如果在根轨迹上，那麽，在它右边的零、极点总数应为奇数个。,根 轨 迹 法,规则三,设实轴上试验点右边有 M个零、N个极点，根据幅角条件则有：,M*180O-N*180O=-(2q+1)180O,得(M+N)*180O=-2q+1*180O,两边同时加上 2N*180O,得 M+N=2q+1 即M+N为奇数,由此可知，上图中，实轴上的根轨迹如右图,规则四 无穷远处根轨迹渐进线 与实轴的夹角计算公式规则五 无穷远处根轨迹渐进线 与实轴的交点计算公式,证：,当nm 时,有n-m条根轨迹是趋向无穷远,在无穷远处,根轨迹趋向一条直线,该直线由它和实轴的夹角和交点确定,由幅角条件：,由于根Sa在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为,则有,渐进线与实轴的交点：,记为：,又由于，在无穷远处：,分子除分母得：,多项式展开，得：,对比两式系数得：,例4-2：已知,试绘制根轨迹,规则三 实轴上的根轨迹,规则二 根轨迹起始于开环极点,规则四、五 渐进线与实轴的夹角、交点,p1=0,p2=1,p3=2,01,2,解：根据规则,60o,-60o,-180o,K1,K1,K1,三条渐进线如图,规则六 根轨迹的会合点与分离点,闭环特征根 S 随 K1 变化而改变，在某个K1下根轨迹可能相交(相交处称会合或分离点)，作为系统特征方程的解，在该处有重根，因此，问题转换为求特征根的重根。,例：上例中用上式求分离点：,由规则三可知，-1.577处没有根轨迹，故舍去，所以，分离点是-0.423,代入得：,或者，将-1.577代入F(s)=0,可求出K1=-0.385,显然不合题意，舍去,综合例：,求以K1为参变量的系统根轨迹。,解：,1、根轨迹起点：0，-3，-1 j,2、实轴上根轨迹：0-3,由特征方程为：,4、分离点：,求出重根为：S1、2=-2.3,分离点,-2.3,根 轨 迹 法,3、渐近线：,-1.25,j,w,s,-j,P,2,-1,0,j,-3,P,1,P,4,P,3,复数极点附近根轨迹形态怎样？,在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。,上例中，为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附近找一个 实验点Sa，并认为该点在根轨迹上，则，它应满足幅角条件：,规则七 根轨迹的出（入）射角,如果Sa无限靠近 P3,根轨迹的出（入）射角用下式求得:,根 轨 迹 法,75,-75,-2.3,-1.25,规则八 根轨迹与虚轴的交点,上例中当 K1 增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面,在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根 S=jn,因此，可以采用两种方法来求：,第一种方法，采用Roth判据,第二种方法，用S=j代入特征方程，令实部为零，求出 K1 代入虚部得,根据上述规则已经可以画出大致的系统闭环根轨迹,为更准确些还可以确定其特殊点的位置:根轨迹与虚轴的交点,综合例：,求以K1为参变量的系统根轨迹。,解：,1、根轨迹起点：0，-3，-1 j,2、实轴上根轨迹：0-3,由特征方程为：,4、分离点：,求出重根为：S1、2=-2.3,分离点,-2.3,根 轨 迹 法,3、渐近线：,-1.25,j,w,s,-j,P,2,-1,0,j,-3,P,1,P,4,P,3,在上例中，采用第一种方法：其特征方程为：,ROTH阵列：,令：,由第三行组成方程：6.8S2+k1=0得 S1、2=j1.1,根据八条规则完成系统根轨迹如右,75,-75,-2.3,-1.25,j1.1,得 k1=8.16,根轨迹与虚轴的交点,43 广义根轨迹,一、参数根轨迹,二、多回路根轨迹,三、正反馈和零度根轨迹,一、参数根轨迹,以系统中任意一个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）绘制的根轨迹。,研究参数根轨迹的目的 分析参数变化对系统性能的影响,绘制参数根轨迹图基本原理,常规根轨迹方程：,参数根轨迹方程：,等效开环传递函数,以为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹,例：,系统的开环传递函数为,绘制以为参数的参数根轨迹，并讨论值对系统稳定性的影响。,解：,（1）以为参量的等效开环传递函数,系统特征方程,等效开环传递函数,开环极点,实轴上的根轨迹,渐近线,根轨迹与虚轴的交点:,特征方程,交点为,出射角:,劳斯表,对于-1+j1.73处的极点有,对于-1-j1.73处的极点有,控制系统开环传递函数，试绘制以为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。,以为参变量的根轨迹方程,画以K为参变量的根轨迹来求出方程的极点,不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇,根轨迹与虚轴交点,以为参变量的根轨迹方程,二、多回路根轨迹,根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。,系统的开环传递函数,系统特征方程,以为参数,研究以KC、Kf为变量的根轨迹,系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！,1）绘制内环的根轨迹图,内环的开环传递函数,根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图,2)确定内环的闭环极点,假定内环的反馈系数 3.2Kf3.5,内环的特征方程,可选Kf=3.36,则求得内环的闭环极点为,3)绘制外环的根轨迹图,外环的开环传递函数,三、正反馈和零度根轨迹,1、局部正反馈系统的框图,正反馈回路的闭环传递函数,特征方程,m个零点n个极点（nm）,“+”,“-”,“1”,根轨迹的分支数(相同)根轨迹的起点和终点(相同)根轨迹的对称性(相同)实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点(相同)根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和分离点(相同)根轨迹的出射角和入射角离开开环极点出射角进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点(相同),正反馈系统的根轨迹的基本规则,2条根轨迹：一条终止于开环零点，另一条则沿正实轴趋于无穷远处。,已知正反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的根轨迹。,开环极点p1,2=-1j,开环零点z=-2,实轴上一2，+为根轨迹，,n-m=1,渐近线,出射角,与虚轴交点：,S=j、K=1代入D(s)=0=0,例,！舍去,分离点（或会合点）：,零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。,等效为相角方程（幅角条件）和幅值方程（幅值条件）,m个零点n个极点（nm）,很小,第四节 滞后系统的根轨迹,绘制滞后系统根轨迹的基本规则,（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。,（4）、根轨迹的渐近线：,（1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴,（2）、根轨迹的起点和终点,起点,终点,根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴,根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为,（5）、根轨迹的分离点：,（6）、根轨迹的出射角和入射角：,（7）、根轨迹与虚轴的交点：,例：设滞后系统的开环传递函数为,要求绘制此系统的根轨迹图。,解：,系统特征方程为,绘制根轨迹的相角条件为,（1）根轨迹的起点和终点,起点 p1=-1,=-终点 趋于无穷远,（2）实轴上的根轨迹（-，-1,（3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于,（4）令k=0画出主根轨迹,k=0 的根轨迹，称为主根轨迹,k=1、2、的根轨迹，称为辅助根轨迹,作图方法,幅角条件,所以根轨迹的起点处有无数条渐近线、终点处也有无数条渐近线,sd,sd,证明：,系统闭环极点如果全部处在S平面的左半面，则系统稳定（绝对稳定）,根 轨 迹 法,设某高阶系统有一对共轭闭环极点 Si=-wnjwd它对应的阶跃响应分量为：,各参数之间关系如图。,如果：Re(Si)=-wn0,当t时该极点对应的阶跃响应分量将趋于零。,4-5 利用根轨迹分析 系统的性能,极点在虚轴上（临界状态），其实部为零，阶跃响应分量呈等幅振荡,极点离实轴越远，wd越大，振荡频率越大,极点在负实轴上，wd=0,该极点对应的阶跃响应分量不会振荡（单调）,极点离实轴越远，wd 越大，振荡频率越大,极点离虚轴越远，|-zwn|越大，衰减越快，反之，极点离虚轴近，|-zwn|小，阶跃响应中该分量衰减就慢，对过渡过程的时间影响大。,极点在左半平面但不在负实轴上，wd0,该极点对应的阶跃响应分量会振荡,因为-zwn0,振荡幅值随时间衰减,当t 时该分量将趋于零,从原点画射线与根轨迹相交，该射线与负实轴夹角=60,从图上得交点坐标,根 轨 迹 法,设计的问题,例如：已知根轨迹，若要求系统有z=0.5的一对闭环极点，求闭环极点的位置及相应的K1的大小。,由幅值条件得：,主导极点的定义及使用,主导极点在第三章已经下了定义，即：如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且，该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统的主导极点,上述两个极点是否是系统的主导极点？,为此，应求出另两个极点再作判断。因为，已知系统的闭环特征方程是：,现已知系统的有两个闭环特征根和此时的K1：,可求出另两个闭环特征根：,可以认为S1、S2是系统的主导极点，因此，将系统近似为闭环极点为S1、S2的二阶系统，并估计出系统的阶跃响应性能：,S1、S2是否是主导极点？,与另外两个根进行比较一下,根 轨 迹 法,注意！上述定义主导极点时提到“极点附近没有零点”的条件，到底零点对系统的性能有什麽影响？实际上，系统的性能应当由零极点共同决定，分析如下：,根 轨 迹 法,零极点抵消,当Zj=Pi时，零极点相消，该极点将不起作用。此时的零极点对称为偶极子,零极点没有相消，但如果零点很靠近极点，它将影响该响应分量的系数，即，影响该极点所决定的阶跃响应分量的初始值的大小。靠得越近，影响越大。,当不存在零极点相消时，系统的稳定性仅由系统的极点决定（可当成两个传函串联）,开环传递函数上增加零点,提高了系统的相对稳定性,增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用,零极点对应的矢量幅角,附加提供一个超前角,“超前校正”,相当于附加零点的作用(使根轨迹向左弯曲，改善了系统动态性能。),|zc|pc|,46 用MATLAB绘制系统的根轨迹,一、求开环传递函数的零极点,例：已知系统的开环传递函数,求系统开环零、极点的位置,num=2 5 1;den=1 2 2;pzmap(num,den);titlepole-zero Map,分子多项式,分母多项式,求零极点函数,打印标题,二、绘制常规根轨迹,例：已知系统的开环传递函数,绘制该系统的根轨迹图,num=2 5 1;den=1 2 2;rlocus(num,den);Title（控制系统根轨图）,分子多项式,分母多项式,绘制根轨迹函数,打印标题,三、绘制带阻尼比和自然振荡频率栅格,例：已知系统的开环传递函数,绘制系统的根轨迹图及带阻尼比和自然振荡频率栅格。,num=2 5 1;den=1 2 2;rlocus(num,den);sgridTitle（控制系统根轨图和栅格）,分子多项式,分母多项式,绘制根轨迹函数,打印标题,绘制栅格,四、系统性能分析,例：已知系统的开环传递函数,绘制系统的根轨迹图并分析系统性能。,num=2 5 1;den=1 2 2;rlocus(num,den);Sgrid;k,p=rlocfind(num,den);Title（控制系统根轨图和栅格）;,分子多项式,分母多项式,绘制根轨迹函数,打印标题,绘制栅格,求十字光标处的闭环极点,第四章 完,