竞赛辅导三角函数.ppt

三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一,定义,同角三角函数的基本关系,图象性质,单位圆与三角函数线,诱导公式,CS、T,y=asin+bcos的最值,形如y=Asin(x+)+B图象,万能公式,和差化积公式,积化和差公式,S/2=C/2=T/2=,S2=C2=T2=,正弦定理、余弦定理、面积公式,降幂公式,三角解题常规,宏观思路,分析差异,寻找联系,促进转化,指角的、函数的、运算的差异,利用有关公式，建立差异间关系,活用公式，差异转化，矛盾统一,1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；6、见sin2，想拆成2sincos；7、见sincos或,想两边平方或和差化积,8、见a sin+b cos，想化为,9、见coscoscos，先,若不行，则化和差,微观直觉,10、见cos+cos(+)+cos(+2)，想乘,sin+sin=pcos+cos=q,一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等这里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用,【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。,【例2】若（0，），比较sin(cos)，cos(sin)，cos这三者之间的大小。,解：在（0，）中，sinxxtanx，而0cosx1,sin(cos)cos。在（0，）中，y=cosx单调递减，,cos cos(sin)。sin(cos)cos cos(sin)。,【例3】已知x,y-,，aR，且,求cos(x+2y)的值。,解：原方程组化为 x,-2y-,，,函数f(t)=t3+sint在-,上单调递增，且f(x)=f(-2y),x=-2y，cos(x+2y)=1。,【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(cd)，,使得 sin（cosc）c，cos（sind）d,证明：考虑函数f（x）cos（sinx）x，在区间0，内是,单调递减的，并且连续，由于f（0）cos（sin0）0=10，f（）cos（sin）=cos 1 0，,存在唯一的d（0，），使f（d）0，即cos（sind）d,对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind）=sin d，sin（cosc）=c。,显然c（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。故存在唯一的cd，使命题成立。,【例5】、（0，），且cot=，sin(cot)=，cot(sin)=。比较、的大小。,解：、（0，)cot0，0 sin），,=sin(cot)cot。作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：。,【例6】nN，n2，求证：cos cos cos,证明：01-=k=2，3，n。,(cos cos cos)2()()()=()()2，,cos cos cos,【例1】（1）已知cos=-,，sin(+)=,，且0,，求sin的值。（2）已知sin(,-)=,，求,的值。,提示：（1）sin=,。,（2）sin2=1-2 sin2(,-)=,；,=,。,【例2】求cos cos cos cos 的值。,解法1：利用公式coscos2cos4cos2n=,得,cos cos cos cos=-,cos cos cos cos=,cos cos=,cos=,原式=,解法2：原式=,=,=,=,【例3】求cos420+cos440+cos480的值。,【例4】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。,【例5】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数，0，求。,【例】方程 sinx+cosx+a=0在（0，2）内有相异两根、，求实数a的取值范围，以及+的值。,解：sinx+cosx+a=0，sin(x+)=-。令t=x+，则t(，)，sint=-作出函数y=sint，t(，)的图象：,，,。,由图象可以看出：当-1-1且-即-2a-或a2时，sint=-有相异两根t1、t2，原方程有相异两根、，并且,当-2a-时，t1+t2=(）+（+)=，+=,当-a2时，t1+t2=(+)+(+)=3，+=,；,。,