空间直角坐标系(85).ppt
2009.2.6,北京工商大学,7-1-1,第七章 空间解析几何与向量代数,1 向量及其线性运算2 数量积与向量积3 曲面与方程4 空间曲线及其方程5 平面及其方程6 空间直线及其方程,2009.2.6,北京工商大学,7-1-2,7.1 向量及其线性运算,向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的模 方向角,2009.2.6,北京工商大学,7-1-3,向量,既有,记为,模长为1的向量.,零向量,模长为0的向量.,向量的模,向量的大小.,单位向量,或,或,或,的量.,又有,大小,方向,为终点的,有向线段.,一、向量概念,2009.2.6,北京工商大学,7-1-4,自由向量,不考虑起点位置的向量.,相等向量,大小相等且方向相同的向量.,负向量,大小相等但方向相反的向量.,记作,2009.2.6,北京工商大学,7-1-5,特殊地 若,分为同向和反向,（平行四边形法则与三角形法则）,(1)加法,二、向量的线性运算,1.向量的加减法,2009.2.6,北京工商大学,7-1-6,向量的加法符合下列运算规律,交换律,结合律,(2)减法,2009.2.6,北京工商大学,7-1-7,2.向量与数的乘法(简称数乘运算),向量的“伸缩”,规定为,同向,反向,2009.2.6,北京工商大学,7-1-8,数乘向量具有下列运算规律,结合律,分配律,第一分配律,第二分配律,线性运算,根据数乘向量定义知:,定理1,平行.,设向量,存在唯一的实数,同方向的单位向量.,记作,2009.2.6,北京工商大学,7-1-9,证明:,若,当 与 同向时,取 为正值,当 与 反向时,取 为负值,有,有,于是有.,假设有数,使,即,说明:,数轴上的任何一个向量 均可用相应的单位,向量的数乘向量来表示.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-10,例 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,且,2009.2.6,北京工商大学,7-1-11,三、空间直角坐标系,1.空间点的直角坐标,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的,点O叫做坐标原点(或原点),正方向符合右手系,即以右手握住 z 轴,当右手的四个手指,从正向x轴以,角度,转向正向y 轴时,大,拇指的指向就是z轴,的正向.,坐标系,或,坐标系.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-12,空间直角坐标系共有八个卦限,2009.2.6,北京工商大学,7-1-13,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,2009.2.6,北京工商大学,7-1-14,2.空间两点间点的距离,为空间两点.,在直角三角形,和,中,用勾股定理,空间两点间距离公式,2009.2.6,北京工商大学,7-1-15,若两点分别为,特殊地,向径,空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.,常用,表示.,空间两点间距离公式,2009.2.6,北京工商大学,7-1-16,解,设P点坐标为,所求点为,例,的距离为到点,的距离的两倍,求点P的坐标.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-17,四、利用坐标作向量的线性运算,1.两向量的夹角的概念,类似地,特殊地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,当两个向量中有一个零向量时,规定,它们的夹角可在0与之间任意取值.,向量,与向量,的夹角,2009.2.6,北京工商大学,7-1-18,空间一点在轴上的投影,过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上,的投影.,空间一向量在轴上的投影,轴u称为投影轴.,已知向量的起点A和终点B,在轴u上的投影分别为,那么轴u上的有向线段,的值,称为向量在轴u上的,投影.,2.向量在轴上的投影,2009.2.6,北京工商大学,7-1-19,在轴u上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴u上的,投影,记为,投影性质1,投影等于向量的模乘以,投影有正、,负之分;,模只为正值.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-20,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和.,投影性质2,投影性质3,2009.2.6,北京工商大学,7-1-21,1,证,例,B,A,2009.2.6,北京工商大学,7-1-22,3.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,的投影,如 是与轴 u正向一致的单位向量,因此,可知:,上坐标分别为,2009.2.6,北京工商大学,7-1-23,起点,终点,向量在x轴上的投影,向量在y轴上的投影,向量在z轴上的投影,基本单位向量的坐标分解式,向量的坐标表达式,坐标,坐标,坐标,2009.2.6,北京工商大学,7-1-24,4.利用坐标作向量的线性运算,2009.2.6,北京工商大学,7-1-25,由,按坐标表示式即为:,当分母为零理解为分子也为零.,也即向量 与 对应的坐标成比例:,设向量,存在唯一的实数,2009.2.6,北京工商大学,7-1-26,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为,非零向量 的方向角：,五、向量的模、方向角,2009.2.6,北京工商大学,7-1-27,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦,向量模的坐标表示式,通常用来表示向量的方向.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-28,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地,2009.2.6,北京工商大学,7-1-29,解,或,所求向量有两个,一个与,同向,一个与,反向.,求平行于向量,的单位向量,例,的分解式.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-30,解,求向量,例,在x轴上的投影及在y轴上的分,向量.,在x轴上的投影为,在y轴上的分向量为,2009.2.6,北京工商大学,7-1-31,解,设有向量,例,已知,它与x轴和y轴的,夹角分别为,如果P1的坐标为(1,0,3),求P2的坐标.,设向量,的方向角为,2009.2.6,北京工商大学,7-1-32,设P2的坐标为,P2的坐标为,2009.2.6,北京工商大学,7-1-33,六、小结,向量的概念,向量的线性运算,（注意:与数量的区别与记法）,(平行四边形法则,三角形法则,注意数乘后的方向),空间直角坐标系,空间两点间距离公式,(注意它与平面直角坐标系的区别),(点、坐标轴、坐标面、卦限),2009.2.6,北京工商大学,7-1-34,向量在轴上的投影与投影性质.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向角.,(注意分向量与坐标的区别),利用坐标作向量的线性运算.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-35,上两式相减得：,练习,设 均为非零向量,证,为常数.,不共线,其中任意两个向量,但 与 共线,证明,与 共线.,2009.2.6,北京工商大学,7-1-36,(3)点M(2,-3,1)关于y 轴的对称点是().,?,(1)点M(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是();,选择题,(2)点M(2,-3,1)关于xOy面的对称点是();,(A)(-2,3,-1);(B)(-2,-3,-1);(C)(2,-3,-1);(D)(-2,3,1).,A,C,B,2009.2.6,北京工商大学,7-1-37,思考题1,解,对角线的长为,求以向量,为边的平行四边形的对角线的长度.,平行四边形的对角线的长度各为,2009.2.6,北京工商大学,7-1-38,B,已知平行四边形的三个顶点 则与顶点B相对的第四个顶点D为().,提示:,思考题2,2009.2.6,北京工商大学,7-1-39,思考题2解答,2009.2.6,北京工商大学,7-1-40,作业,习题7-1(300页),1.2.3.7.9.11.15.16.17.19.,
