理论力学10弯曲的应力分析和强度计算.ppt

第十章 弯曲的应力分析和强度计算,弯曲的应力分析和强度计算,10-1 弯曲内力剪力和弯矩,一、概述,2,弯曲的应力分析和强度计算,车削工件,3,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴,4,弯曲的应力分析和强度计算,吊车梁,直杆在与其轴线垂直的外力作用下，轴线成曲线形状的变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。,5,弯曲的应力分析和强度计算,平面弯曲,MZ,截面特征：杆具有纵向对称面，横截面有对称轴（y轴）受力特点：外力都作用在对称面内，力垂直于杆轴线变形特点：弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,6,弯曲的应力分析和强度计算,梁的基本形式,F,q(x),Mx,简支梁,F,q(x),Mx,外伸梁,F,q(x),Mx,悬臂梁,7,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴简化为外伸梁,8,弯曲的应力分析和强度计算,二、剪力与弯矩,截面法求内力,F,y,=0,c,RA P Q=01,M,=0 M+P(x a)RA x=01,Q=RA P1,剪力,M=RA x P(x a)弯矩1,9,弯曲的应力分析和强度计算,剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针转动时为正，反之为负。,弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。,10,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的内力符号是否和坐标系有关？,答：无关。,如图所示连续梁，和部分的内力情况如何？,A,0,0,E,B,C,F,P D,X C=P cos,答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。,11,例,1,如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求-，-截面上的剪力和弯矩。,解,1、支座约束力,M,M,B,=0,+RA 4 P 2 q 2 1=0,A,=0,P 2 RB 4+q 2 5=0,RA=1.5kN,RB=7.5kN,12,例,1,2、计算内力,F=0 MC=0,y,1,RA Q1=0,RA 1 M 1=0,M 1=1.5kN m,Q1=1.5kN,F,x,=0,C2,Q2 q 1=0,M,=0 M 2+q 1 0.5=0,Q2=2kN,M 2=1kN m,13,弯曲的应力分析和强度计算,三、剪力与弯矩方程 剪力图和弯矩图,设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数,Q=Q(x),-剪力方程,M=M(x),-弯矩方程,梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。,14,例,2,如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,laRA=P l,aRB=P l,2、列剪力方程和弯矩方程,AC段,laQ(x1)=RA=P l,(0 x1 a),M(x1),laM(x1)=RA x1=Px1(0 x1 a)l,Q(x1),15,例,BC段,2,aQ(x2)=RB=P l,(a x2 l),Q(x2),RB,aM(x2)=RB(l x2)=P(l x2)l,(a x2 l),3、画剪力图和弯矩图,la P l,M(x2),a(l a)P l,a Pl,16,例,3,m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l，=3Pl 2试绘剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,Fy=0,RA P=0,3Pl Pl mA=0 MA=0 2 Pl RA=P m A=2,2、确定剪力、弯矩方程,AC段,l(0 x1)Q(x1)=RA=P 2 l Pl(0 x1)M(x1)=RA x1+mA=Px 1+22,17,例,CB段,3,Q(x2)=P,l(x2 l)2,M(x2)=P(l x2),l(x2 l)2,3、画剪力图和弯矩图,18,例,4,如图所示简支梁，已知q，l。试画出剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,qlRA=RB=2,2、确定剪力方程和弯矩方程,qlQ(x)=qx 2,(0 x 1)l,2,qlqxM(x)=x 22,(0 x l),19,3、画剪力图和弯矩图,弯曲的应力分析和强度计算,四、外力与剪力及弯矩间的关系,1、载荷集度、剪力及弯矩间的微分关系,设载荷集度是x的连续函数,q=q(x),规定：向上为正,F,y,=0,Q(x)Q(x)+dQ(x)+q(x)dx=0,dQ(x)=q(x)dx,20,弯曲的应力分析和强度计算,dx M c=0 M(x)+dM(x)M(x)Q(x)dx q(x)dx=0 2,dM(x)=Q(x)dx,2,d M(x)=q(x)2 dx,2、集中力、集中力偶作用处的剪力及弯矩,F,y,=0,Q=P,集中力（包括支座约束力）作用处的两侧截面上的剪力数值发生突变，且突变值等于集中力的值,21,弯曲的应力分析和强度计算,工程实际中，所谓的集中力不可能集中于一点，而是分布在很小的范围内,MC=0,M=M,M,在集中力偶作用的两个侧面上，弯矩数值发生突变，且突变值的大小等于集中力偶的值。,22,弯曲的应力分析和强度计算,3、载荷集度、剪力图及弯矩图图形上的关系,q，Q，M图的线型依次递高一次，若q为水平线，则Q图将为斜线，而M图则为二次曲线；若q等于零，则Q图将为水平线，而M图则为斜线。M图的凹向同q指向，当q指向上方时，q值为正，M对x的二阶导数大于零，弯矩图将凹向上，反之M图将向下凹曲。当Q等于零时，M取极值。集中力作用的截面，Q图有突变，突变值等于集中力的值。M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变值等于集中力偶的值。,23,例,5,2,m 如图所示外伸梁，已知：q，l，P=ql 3，=ql试画出剪力图和弯矩图。,6。,解 1、求支座约束力,M,c,=0,2,l 3l qlql lR Al q+=0 2 463 2 2 l l qlql 3l RC l+=0q MA=0 24 63 2,3RA=ql 8,11RC=ql 24,2、分段,分为AB，BC，CD三段,24,例,5,3RA=ql 8,11RC=ql 24,3、求端值利用直接法计算各段左、右两端截面上的剪力和弯矩,25,例,5,4、画剪力图和弯矩图,26,弯曲的应力分析和强度计算,五、用叠加法作剪力图和弯矩图,P=ql,当梁上有多个外力作用时各外力引起的内力互不相关，因此可以分别计算各外力所引起的内力，然后进行叠加-叠加法,27,弯曲的应力分析和强度计算,10-2,纯弯曲梁横截面上的正应力分析,梁弯曲时，横截面上一般有两种内力-剪力和弯矩，这种弯曲称为横力弯曲。,梁弯曲时，横截面上只有弯矩，而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,28,弯曲的应力分析和强度计算,一、纯弯曲梁的正应力,1、变形方面,实验观察：纵向线在梁变形后变成弧线，靠顶面的线缩短，靠底面的线伸长。横向线在梁变形后仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍然与弯曲的纵向线保持正交。,平面假设：纯弯曲梁是由无数条纵向线所组成，变形前处于同一平面的各纵向线上的点，弯曲变形后仍处于同一平面内，且纵向线与横截面在变形中保持正交。,29,弯曲的应力分析和强度计算,根据平面假设，由实验观察到的表面现象已推广到梁的内部，即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面作刚性转动，靠底部的纵向纤维伸长了，靠顶部的纵向纤维缩短了，由于变形的连续性，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。,30,弯曲的应力分析和强度计算,a,a,dxdx,线应变随y按线性规律变化,l,31,弯曲的应力分析和强度计算,2、物理方程,假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量相等。M,Z,=,y,胡克定律,=E,=E,y,C,min z,y,x max,纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面中性轴的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。,32,弯曲的应力分析和强度计算,3、静力学条件,=E,y,F,A,x,=0,dA=FN=0,A dA=A E,y,A ydA=0,dA=,E,A ydA=0,截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。,中性轴通过截面的形心。,33,弯曲的应力分析和强度计算,M,z,=0,y,M=ydA,A,=E,y,M=A yE,1,dA=,E,A y dA,2,M=EI xz,My=0,A z dA=,E,A z dA=0,A zydA=0,横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故惯性积为零。34,弯曲的应力分析和强度计算,M=EI xz,1,=E,y,M=ymax IZ,M=y IZ,-纯弯曲梁横截面正应力计算公式,横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。,max,max,M=WZ,IZWZ=ymax,弯曲截面系数,35,弯曲的应力分析和强度计算,二、惯性矩,常见截面的 IZ 和 WZ,64 3 dWZ=32,圆截面,bhIZ=12,3,IZ=,d,4,IZ=,D,4,64,(1),4,WZ=,空心圆截面,D,3,32,(1),4,3,3,bhWZ=6,矩形截面,2,b0 h0 bh IZ=1212 3 3 b0 h0 bhWZ=()/(h0/2)1212,36,空心矩形截面,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的截面形状如图所示，在平面内作用有正弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？,z,a,b,y,c,37,弯曲的应力分析和强度计算,有一直径为的钢丝，绕在直径为的圆筒上，钢丝仍处于弹性阶段。此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？为了减少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？,M=EI xz,1,D+d=2,2 EI zM=D+d,max,d M 2=Iz,max,Ed=D+d,38,例,6,受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。已知：弯矩M=1kN m，外径 D=50mm，内径d=25mm。试求截面上a，b，c和d点的应力，并画出过a，b两点直径线和过c，d两点弦线上各点的应力分布情况。,39,例,解,6,M=1kN m,M=y IZ,Dya=25mm 2 dyb=12.5mm 2 22 122 1 D d 250 25 2)=21.7 mmyc=()=(4444,yd=0,IZ=,64,(D d)=,4,4,64,(50 25)(10)=2.88 10 m,4,4,3 4,7,4,40,例,6,3,M1 10 3ya=25 10=86.8MPaa=7 IZ 2.88 10,M110 3b=yb=12.5 10=43.4 MPa 7 IZ 2.88 10,3,M1 10 3yc=21.7 10=75.3MPac=7 IZ 2.88 10,3,M yd=0d=IZ,a,c,d=0,b,41,弯曲的应力分析和强度计算,10-3,纯弯曲应力公式的应用,横力弯曲时，由于剪力的影响，弯曲变形后，横截面发生翘曲，不再保持平面，但当剪力为常量时，各截面的翘曲程度完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差距。,对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。,对于剪力不为常量的横力弯曲，当梁的跨度与横截面高度的比值较大时，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。,曲率公式也可推广用于横力弯曲梁中性层曲率计算。42,弯曲的应力分析和强度计算,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力分布,My=IZ,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,横截面惯性积 Iyz=0,弹性变形阶段,43,例,7,T字型截面梁如图所示，试求梁横截面上最大正应力。,解,绘制弯矩图，得 M B=10kN m M C=7.5kN m确定截面的形心,120 10(125)+120 10(60)y=92.5mm 120 10+120 10,44,例,7,3,3,120 1010 120 2+120 10 32.5+Iz=1212 264+120 10 32.5=3.99 10 mm,B截面的最大拉应力,Bt=,MB,Iz,ymax,10 10 3=37.5 10=93.9 MPa 63 43.99 10(10),3,C截面的最大拉应力,7.5 10 3 Ct=92.5 10=173.9 MPaymax=63 43.99 10(10)Iz 45 梁的最大拉应力发生在C截面的下部边缘,MC,3,弯曲的应力分析和强度计算,10-4 矩形截面梁弯曲切应力简介,一、矩形截面梁的弯曲切应力,关于横截面切应力分布规律的假设：,侧边上的切应力与侧边相切,切应力沿 z 的方向均匀分布,Q,M,M+dM,dx,Q+dQ,Q,y,y,z,46,弯曲的应力分析和强度计算,M,M+dM,x,y,z,y,Q,dx,Q+dQ,dx,F,x,=0 FN1 FS FN 2=0,M+dM M+dM FN1=1dA=y dA=Sz IzIz AA,FN 2,M*=Sz Iz,FN2,FS,Fs=bdx,*z,*z,y,QS=I zb,*z,FN1,dM SQS=dx I z b I z b,-矩形截面梁横截面切应力计算公式 47,弯曲的应力分析和强度计算,bh IZ=12 2 2 b h 2 hS z=A y dA=y y bdy=(y)2 4 2 Q hQh2=(y)max=2I z 4 8I z 3Q max=1.5 平均 2 bh,2,QS=I zb,*z,3,b,h,yy*a,y,Q,z,a1,A*,沿高度方向抛物分布,y=0时，切应力值最大,梁上下表面处切应力为零,A,48,弯曲的应力分析和强度计算,二、其他截面梁的弯曲切应力,翼缘,Q,工字形,腹板上,工程上,QS=Izd,z,H,h,d,y,t,z,腹板,Q=hd,QS=I zt,z,A*,By,49,翼缘上,假设切应力沿翼缘厚度方向大小相等，且与翼缘相平行,弯曲的应力分析和强度计算,圆截面,假设：弦线两端点处与圆周相切的切应力作用线交于y轴 的p点，设弦线上其他点的切应力作用线均通过p点 各点沿y方向的切应力分量相等,QSy=I zb,z,弦线长,max,4 Q=2 3R,50,弯曲的应力分析和强度计算,圆环截面,假设：沿圆环厚度方向切应力均匀分布并与圆环切线平行。,Q,m ax,z,QS=2tI z,z,y,max,Q=Rt,51,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,用矩形截面梁的切应力公式=QS/I z b计算图示截面*上各点的切应力时，式中的 S z 是哪个面积对中性轴的静矩？,*z,A,B,52,弯曲的应力分析和强度计算,矩形截面梁若最大弯矩和最大剪力和截面宽度不变，而将高度增加一倍，最大正应力为原来的多少倍？最大切应力呢？,max,M3Q max=1.5 平均 WZ2 bh,bhWZ=6,2,答：最大正应力为原来的四分之一，最大切应力是原来的二分之一。,53,弯曲的应力分析和强度计算,弯曲强度计算,一般情况下，梁的横截面上同时存在正应力和切应力。最大正应力发生在离中性轴最远的各点上，最大切应力发生中性轴上。因此通常对弯曲正应力及弯曲切应力分别建立强度条件。,一般来说，处于横截面边缘线上正应力最大的点处，切应力为零。所以梁弯曲时最大正应力的点可看成处于单向应力状态。,梁弯曲时正应力强度条件,max,M=()max Wz,54,弯曲的应力分析和强度计算,对于等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在的截面。,梁弯曲时正应力强度条件,max,M max=Wz,为许用弯曲正应力，可近似利用简单拉伸时的许用应力,代替，但二者有区别，前者略高于后者，可查手册。对抗拉、压性能不同的材料，则要求最大拉应力和最大压应力都不超过许用值,t max t,c max c,55,弯曲的应力分析和强度计算,一般来说，梁横截面上最大切应力发生在中性轴上，而该处的正应力为零。因此最大切应力点处于纯剪切应力状态 弯曲切应力强度条件,max,QS=()max I zb,z,对于等截面梁，最大切应力发生在最大剪力所在的截面,弯曲切应力强度条件,max,Qmax S=I zb,z max,56,弯曲的应力分析和强度计算,对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，横截面上的正应力是主要的，切应力只占次要地位，例,ql 2 M max8=3ql max=22 bhWz4bh 6 ql 3 Qmax 3 2 3ql max=2 A2 bh 4bh,2,max max,3ql 2 4bh=l=3ql h 4bh,2,57,弯曲的应力分析和强度计算,对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，只要满足,正应力条件即可。对于薄壁截面梁或梁的弯矩较小，而剪力很大时，必须同时校核正应力强度条件和切应力强度条件。对于一些薄壁截面梁的横截面上，有时存在着正应力和切应力都很大的点，如工字形截面梁腹板和翼缘交界处各点。这样的点也可能成为危险点，需要进行强度校核，但该点的应力状态较复杂，需要利用强度理论讨论。,58,例,8,某辊轴直径 D=21cm，轴颈直径 d=15cm，受均布载荷作用，q=400kN/m。若已知=100MPa，试校核其强度。,解,max,M=()max Wz,3,辊轴中最大弯矩在C截面,C max,MC 90 10=99 MPa 2 33 D(21 10)3232,轴颈中最大弯矩在D、E截面,D max=E max,MD 40 10=121MPa 2 33 d(15 10)3232 不满足强度要求,3,59,例,9,如图所示一铸铁制成的梁。已知截面图形对形心轴的惯 74性矩 I z=4.5 10 mm，1=50mm，y2=140mm。材料许用 y拉应力及许用压应力分别为 t=30MPa，c=140MPa。试按正应力强度条件校核强度。,60,例,解,9,由弯矩图可知B，C截面的弯矩符号不同，截面上的中性轴为非对称轴，且材料的拉压许用应力不同故B，C截面都可能是危险截面。,B截面,Bt,MB 20 10 3=50 10=22.2MPay1=3 47 4.5 10(10)IZ,3,BcBC,MB 20 10 3y2=140 10=62.2 MPa 3 47 IZ 4.5 10(10),3,61,例,C截面,Ct,9,MC 10 10 3=140 10=31.1MPay2=3 47 4.5 10(10)IZ,3,最大拉应力在C截面上，最大压应力在B截面上。,c max c,t max t,虽最大拉应力大于许用拉应力，但未超过5%，故可认为满足正应力强度条件。,62,例,10,如图所示外伸梁受均布载荷作用。已知：=160 MPa，=80MPa。试选择工字钢型号。,解 绘制剪力图,弯矩图,Q max=58kN,M max=44.1kN m,Wz,M max,=276cm,3,63,例,10,在型钢表中查得工字钢的 Wz=309cm 故选之。,3,因工字形钢为薄壁截面，须进行弯曲切应力校核。由*型钢表查得 I z/S z=18.9cm，d=7.5mm，则,max,Qmax=40.9MPa Iz d*Sz,可以选用工字钢。,64,弯曲的应力分析和强度计算,提高粱弯曲强度的主要措施,设计梁的主要依据为弯曲正应力强度条件,max,M=()max Wz,提高粱的强度，从以下四个方面考虑：合理地安排梁的支座和载荷；采用合理的截面形状；采用等强度梁 合理地使用材料,65,弯曲的应力分析和强度计算,一、合理地安排梁的支座和载荷,合理安排支座和载荷，以降低最大弯矩。,M max,1 2=ql 8,M max,1 2=ql 40,66,弯曲的应力分析和强度计算,分散载荷,辅助梁,M max,1=Pl 4,M max,1=Pl 8,67,弯曲的应力分析和强度计算,二、采用合理的截面形状,弯曲截面系数 Wz 不仅与截面尺寸有关，还与截面形状有关。为了减少材料的消耗，减少自重，应取 Wz/A较大的截面形状。,68,弯曲的应力分析和强度计算,从正应力分布角度分析,梁横截面上的正应力是按线性分布的，靠中性轴越近应力越小。工字形截面有较多面积分布在离中性轴较远处，作用着较大的面积，而矩形截面梁在中性轴附近分布较多承担较小应力的面积。因此，当两种截面的最大应力相等时，工字形截面形成的弯矩较大，抗弯能力较强。,69,弯曲的应力分析和强度计算,对于抗拉、压强度不等的材料，应使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到，对于这种情况宜采用中性轴为非对称轴的截面,70,弯曲的应力分析和强度计算,注意截面的合理放置,bhWz 6=0.167 h=Abh,2,hbWz 6=0.167b=Abh,71,2,弯曲的应力分析和强度计算,上述梁的合理截面形状是由满足弯曲正应力强度条件出发，仅由减少材料消耗、减轻自重的角度考虑。工程实际中选用合理的截面，还必须综合考虑是否满足切应力强度条件、刚度条件和稳定性等条件，是否满足结构和使用上的要求以及工艺、管理等方面的因素，才能最后决定。,72,弯曲的应力分析和强度计算,三、采用等强度梁,横力弯曲时，梁的弯矩是随截面位置变化的，若设计成等截面梁，则除最大弯矩所在的截面以外，其他各截面的正应力均未达到许用应力值，材料强度得不到充分发挥。为了减少材料消耗，减轻自重，可把梁制成横截面随截面位置变化的变截面梁。变截面梁若截面变化比较缓慢，弯曲正应力公式仍可适用。当变截面梁各横截面上的最大弯曲正应力相等，且等于许用应力，即,max,M(x)=Wz(x),这种梁称为等强度梁。,M(x)Wz(x)=,等强度梁截面的变化规律,73,弯曲的应力分析和强度计算,等高度矩形截面等强度梁,h 为常量,b(x)hW(x)=6,PM(x)=x 2,2,3Pb(x)=2 x h,l(0 x)2,按上述设计左右两端点处。从切应力强度条件考虑,max,P 3 Qmax 3 2=2 A2 bmin h,bmin,3P=4h,74,弯曲的应力分析和强度计算,四、合理地使用材料,不同材料的力学性能是不同的，应尽量利用每一种材料的长处。例：可将两种以上的材料按一定规律复合后，形成一种新的更好的新材料。混凝土的抗压性能远高于抗拉性能，在用它制造梁时，可在梁的受拉区域放置钢筋，组成钢筋混凝土梁。在这种梁中，钢筋承受拉力，混凝土承受压力。夹层梁表层用高强度材料，芯子用轻质低强度的填充材料，这种梁既能降低自重，又能有足够的强度和刚度。,75,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,铸铁字形截面梁的许用拉应力为50MPa，许用压应力为200MPa。则上下边缘距中性轴的合理比值是多少？,P,y1,y2,答：y1/y2=4:1,76,弯曲的应力分析和强度计算,本章小结,弯曲梁内力计算截面法求剪力和弯矩，剪力方程和弯矩方程的建立，剪力图和弯矩图的画法。,载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系及其在画剪力图和弯矩图中的应用,dM(x)=Q(x)dx,d M(x)=q(x)2 dx,2,用叠加法作剪力图和弯矩图,77,弯曲的应力分析和强度计算,纯弯曲梁横截面上的正应力,M=EI xz,1,M=y IZ,max,M=WZ,矩形截面梁的弯曲切应力,QS=I zb,*z,max,3Q=1.5 平均 2 bh,梁弯曲时正应力强度条件,max,M=()max Wz,78,弯曲的应力分析和强度计算,弯曲切应力强度条件,max,QS=()max I zb,z,提高粱的强度，从以下四个方面考虑：合理地安排梁的支座和载荷；采用合理的截面形状；采用等强度梁合理地使用材料,79,弯曲的应力分析和强度计算,（1）已知F，M，q，a，试画出梁的剪力图和弯矩图。,（2）已知图示外伸梁，q=6kN/m F=30kN，=170MPa，截面为22a工字钢。试利用正应力强度条件校核梁的强度。,q,F,80,