清华微积分(高等数学)课件第八讲微分中值定理.ppt

2023/6/30,1,作业,P88 习题4.1 5(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122 综合题:4.5.,复习：P8088预习：P8995,2023/6/30,2,应用导数研究函数性态,局部性态 未定型极限 函数的局部近似,整体性态 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形,2023/6/30,3,微分中值定理，包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理,微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。,微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。,2023/6/30,4,第八讲 微分中值定理,一、费尔马(Fermat)定理,二、罗尔(Rolle)定理,三、拉格朗日(Lagrange)定理,四、柯西(Cauchy)定理,2023/6/30,5,一、费尔马(Fermat)定理,（一）极值的定义：,2023/6/30,6,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,2023/6/30,7,（二）费尔马定理(极值必要条件),2023/6/30,8,2023/6/30,9,证,2023/6/30,10,2023/6/30,11,微分中值定理的引入,2023/6/30,12,2023/6/30,13,2023/6/30,14,2023/6/30,15,二、罗尔(Rolle)定理,2023/6/30,16,怎样证明罗尔定理？,先利用形象思维去找出一个C点来！,想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！,2023/6/30,17,罗尔定理的证明：,2023/6/30,18,2023/6/30,19,三、拉格朗日(Lagrange)定理,2023/6/30,20,怎样证明拉格朗日定理？,拉格朗日定理若添加条件:,则收缩为罗尔定理；,罗尔定理若放弃条件:,则推广为拉格朗日定理。,知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题转化为已掌握的老问题。,因此想到利用罗尔定理！,2023/6/30,21,满足罗尔定理条件,弦线与f(x)在端点处相等,设,函数,2023/6/30,22,拉格朗日定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,2023/6/30,23,拉格朗日公式各种形式,有限增量公式,2023/6/30,24,2023/6/30,25,推论1：,证,2023/6/30,26,推论2：,推论3：,推论4：,2023/6/30,27,四、柯西(Cauchy)定理,2023/6/30,28,柯西中值定理的证明：,构造辅助函数,2023/6/30,29,费尔马定理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,2023/6/30,30,零点问题,以下证明恰好有三个根,该方程实根个数就是两条曲线,2023/6/30,31,首先证明至少有三个根,计算表明,根据介值定理,因此方程至少有三个根,然后证明方程最多有三个根,用反证法,2023/6/30,32,根据洛尔定理,矛盾！,综上所述，方程恰好有三个实根,35,2023/6/30,33,直观观察可以启发思路,所以最小值一定在区间内部达到,2023/6/30,34,证,2023/6/30,35,证明思路直观分析,例3,2023/6/30,36,证,根据连续函数的最大最小值定理,2023/6/30,37,证,2023/6/30,38,44,2023/6/30,39,证,2023/6/30,40,2023/6/30,41,证,2023/6/30,42,2023/6/30,43,2023/6/30,44,证,2023/6/30,45,2023/6/30,46,证,2023/6/30,47,2023/6/30,48,2023/6/30,49,证,2023/6/30,50,2023/6/30,51,