六节多元函数微分学几何应用.ppt

,第六节 多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,一、空间曲线的切线与法平面,1.设空间曲线 的参数方程为：,下面来求：,按定义，,切线是割线的极限位置。,因此，,即,对上式取极限，得,方向向量,切线的方向向量也称为曲线的切向量。,过点 M 且与这点的切线垂直的平面,由点法式得：点 处的法平面方程为,法平面：,法平面,即,0,0,设此方程组确定了,用隐函数求导法，求出,例1 求曲线 x=t,y=t2，z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.,解,1,2,3,即,在点(1,2,1)处的切线及法平面方程.,解,设方程组,例2 求曲线,确定了,等式两边对 x 求导，得,即,解得,=,=,=,1,0,即,二、曲面的切平面与法线,在曲面 上，通过点 M任意引一条曲线，,设 的参数方程为,不全为0.,则,(*),(链锁法则),由链锁法则，得,=,(*)式变为,=0,(#),令,又,则(#)式可写为,这表明：,切平面的法向量为,切平面的方程为,+,+,法线：,法线的方程为,即,令,则,=,即,用隐函数求导法,由前两式求出,再由第三式得,4、曲面的法向量的方向余弦 若用 表示曲面的法向量的方向角，假定法向量的方向向上，即 为锐角.则法向量的方向余弦为:,例3 求球面 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.,解:,，,，,即,法线方程为,即,2,4,6,例4 求旋转抛物面 在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.,解:,法线方程为,，,=,=,即,4,2,全微分的几何意义,曲面,作业,P100，4-8,10,12,补充题：,求曲面,上,对应点处的切平面及法线,的方程。,