总复习走向清华北大49随机事件的概率.ppt
第四十九讲 随机事件的概率,回归课本,1.事件的分类(1)一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称必然事件.(2)一般地,我们把在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.,(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C表示.,2.频数,频率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间0,1中的某个常数上,那么把这个常数记作P(A),称为事件A发生的概率.,(3)任何事件A发生的概率P(A)0,1,它度量事件发生的可能性的大小.若A为必然事件,则P(A)=1;若A为不可能事件,则P(A)=0.,3.事件的关系与运算(1)对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作BA(或AB).(2)若BA,且AB,那么称事件A与事件B相等,记作A=B.(3)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作AB(或A+B).,(4)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作AB(或AB).(5)若AB为不可能事件,(AB=),那么称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.(6)若AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.,(7)互斥事件概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B).特别地,若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).,考点陪练,1.从6个男生、2个女生中任选3人,则下列事件中必然事件是()A.3个都是男生 B.至少有1个男生C.3个都是女生 D.至少有1个女生解析:因为只有2名女生,所以选出的3人中至少有1名男生.答案:B,2.某产品分一、二、三级,其中只有一级是正品.若生产中出现正品的概率是0.97,出现二级品的概率是0.02,那么出现二级品或三级品的概率是()A.0.01 B.0.02C.0.03 D.0.04解析:“出现一级品”这一事件的对立是“出现二级品或三级品”,由对立事件概率之和为1即可得出答案.答案:C,3.(2010山东青岛2月)为了了解学生遵守中华人民共和国交通安全法的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是”,因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答.,结果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是()A.30 B.60C.120 D.150,解析:抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是0.5,因此600个被调查的学生中大约有300个人回答了第一个问题,300个人回答了第二个问题,又因为学号是奇数和偶数的概率相等,都是0.5,故300个回答第一个问题的学生中大约有150人回答了“是”,所以300个回答第二个问题的学生中有180-150=30个回答了“是”,即曾经闯过红灯,故在这600人中闯过红灯的人数大约是60人.答案:B,4.(2010新创题)一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有()A.(男,女)(男,男)(女,女)B.(男,女)(女,男)C.(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)D.(男,男)(女,女)解析:由于两个孩子有先后出生之分,故选C.答案:C,5.(2010浙江台州2月模拟)袋中装有编号为1234的四个球,四个人从中各取一个球,则甲不取1号球,乙不取2号球,丙不取3号球,丁不取4号球的概率为(),解析:四人从袋中各取一球共有4321=24种不同的取法,甲不取1号球,乙不取2号球,丙不取3号球,丁不取4号球有9种不同的取法,所以其概率是答案:B,类型一随机事件及概率解题准备:(1)频率:在相同条件下重复进行n次试验,观察某一事件A出现的次数m,称为事件A的频数,那么事件A出现的频率fn(A)=频率的取值范围为0,1.,(2)概率:对于给定的随机事件,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率稳定在某个常数上,我们把这个常数记为P(A),称为事件A的概率.频率与概率有本质的区别,不可混为一谈,频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时频率向概率靠近.只要次数足够多,所得频率就近似地当做随机事件的概率.,【典例1】(2010海南模拟)某市地铁全线共有四个车站,甲乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车.假设每人自第2号车站开始,在每个车站下车是等可能的.约定用有序实数对(x,y)表示“甲在x号车站下车,乙在y号车站下车”.(1)用有序实数对把甲乙两人下车的所有可能的结果列举出来;(2)求甲乙两人同在第3号车站下车的概率;(3)求甲乙两人在不同的车站下车的概率.,解(1)用有序实数对(x,y)表示甲在x号车站下车,乙在y号车站下车,则甲下车的站号记为2,3,4共3种结果,乙下车的站号也是2,3,4共3种结果.甲乙两人下车的所有可能的结果有9种,分别为:(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).(2)设甲乙两人同时在第3号车站下车的事件为A,则P(A)=,(3)设甲乙两人在不同的地铁站下车的事件为B,则结果有:(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共6种结果,故,反思感悟 在解决此类问题时,首先分清所求事件是由哪些基本事件组成的,即明确基本事件总数N和这个具体事件包含的基本事件数M,由 计算概率.,类型二互斥事件与对立事件的区别和联系解题准备:“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立的事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此,对立事件必须互斥.,【典例2】(2010烟台月考)某城市有甲乙两种报纸供居民们订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.,解 根据互斥事件对立事件的定义来判断.(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.,(3)事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”,即有可能“不订甲报纸”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有这些可能:“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.,(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能,故事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.,反思感悟 根据互斥事件对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件对立事件的一种最有效最简便的基本方法.由对立事件的定义可知,对立事件首先要是互斥事件,并且其中一个一定要发生,因此两个对立事件一定是互斥事件,但两个互斥事件却不一定是对立事件,解题时一定要搞清两种事件的关系.,类型三互斥事件与对立事件的概率解题准备:1.互斥事件的概率加法公式:若事件A与B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B);2.对立事件的概率公式:若事件A的对立事件为 则P()=1-P(A).,【典例3】(2010江西五校联考)下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有50人,成绩分15五个档次.例如表中所示英语成绩为4分数学成绩为2分的学生为5人.将全班学生的姓名卡片混在一起,任取一张,该卡片对应学生的英语成绩为x,数学成绩为y.设x,y为随机变量.(注:没有相同姓名的学生),(1)x=1的概率为多少?x3且y=3的概率为多少?(2)a+b等于多少?,反思感悟 本题主要是用计数方法求出事件包含的基本事件数,再用公式 求解;而求P(x=2)时,因为a,b未知,所以考虑它的对立事件,即“x=1”和“x3”,而事件“x=2”“x=1”“x3”彼此互斥,P(x=1)+P(x3)+P(x=2)=1.,错源一混淆事件与基本事件【典例1】指出下列哪些是基本事件.(1)先后抛掷两枚硬币,都出现正面;(2)先后抛掷两枚硬币,都出现反面;(3)抛掷一次骰子,出现偶数点;(4)先后抛掷两枚硬币,出现一个正面一个反面.,错解(1),(2),(3),(4)都是基本事件.剖析 错解没有把握住基本事件的本质,混淆了事件与基本事件.正解(1),(2)为基本事件.,评析 事件是随机事件的简称,是随机试验的结果.基本事件是指在随机试验中所有可能发生的基本结果,是随机试验中不能再分的最简单的随机事件.基本事件具有两个特点:(1)基本事件是随机试验中不能再分的最简单的随机事件,在一次试验中只能产生一个基本事件;(2)任何事件都可以用基本事件来描绘.“抛掷一次骰子,出现偶数点”这一事件中包含了“出现2点”“出现4点”“出现6点”三个基本事件;“先后抛掷两枚硬币,出现一个正面一个反面”包含了“先正后反”和“先反后正”两个基本事件.,错源二混淆了频率与概率【典例2】判断下列命题的真假.(1)将一枚骰子掷60次,出现1点的频率为 则在试验中出现了10次点数为1.(2)某彩票的中奖率为1%,则某人买了103张彩票,其中至少有一张彩票中奖.(3)一同学抛掷一枚硬币10次,结果6次正面向上,这说明在抛掷硬币过程中有时正面向上的概率为0.6.,错解(1),(2),(3)都是真命题.剖析 错解混淆了频率与概率.正解(1)真;(2)假;(3)假.评析 频率是一个随试验次数变化而变化的量.在进行大量重复试验时,频率会在某一常数附近摆动,这个常数就是事件A的概率.概率在数值上给出了事件A发生的可能性的大小,它是一个常数,它不随试验次数的变化而变化.频率与概率的关系可以概括为“在进行大量重复试验时,概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值”.,错源三混淆互斥事件与对立事件【典例3】进行抛掷一枚骰子的试验,有下列各组事件:(1)“出现1点”与“出现2点”.(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”.(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.其中是对立事件的组数是()A.0 B.1C.2 D.3,错解 C剖析 错解混淆了互斥事件与对立事件,误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件,而(1)“出现1点”与“出现2点”是互斥事件并非对立事件,(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件,所以它不是对立事件.正解 B评析 对立事件一定是互斥事件,而互斥事件却不一定是对立事件.,技法一分类讨论思想【典例1】把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,已知方程组解答下列各题.(1)求方程组只有一个解的概率;(2)求方程组只有正解的概率.,解题切入点 列出基本事件,建立概率模型.,包含的事件有13个:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6).因此所求的概率为,技法二转化思想【典例2】如图所示,在一个体积为64 cm3的正方体木块表面涂上红漆,然后锯成体积为1 cm3的小正方体,从中任取一块,求这一块至少有一面涂有红漆的概率.,解 直接求“至少有一面涂有红漆”的概率比较困难,可以转化为求其对立事件的概率,即求“未涂红漆”的小木块的概率,经分析知未涂红漆的小木块有(4-2)3=8(个),故至少一面涂有红漆的小木块有64-8=56(个),所以所求事件的概率,
