有理函数的积分(IV).ppt

1,4.6 有理函数的积分,有理函数的积分,小结 思考题 作业,可化为有理函数的 积分举例,rational function,第4章 定积分与不定积分,2,基本积分法:,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,例如,下列函数积分都不是初等函数,直接积分法;,在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域,有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.,3,有理函数的定义,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,真分式;,假分式.,4,例,多项式的积分容易计算.,真分式的积分.,只讨论:,多项式,真分式,有理函数,多项式+真分式,分解,若干部分分式之和,5,对一般有理真分式的积分,定理,代数学中下述定理,起着关键性的作用.,质因式分解式为:,部分分式的和.,如果分母多项式Q(x)在实数域上的,任何有理真分式,均可表为有限个,6,部分分式(最简分式).,可由待定系数法确定,7,所以由上述定理可知,且由下面的例题可看出:,有理函数的积分是初等函数.,系数的确定,一般有三种方法:,(1)等式两边同次幂系数相等;,(2)赋值;,(3)求导与赋值结合使用.,有理函数的积分最终,归结为部分分式的积分.,8,例 求,解,由多项式除法,有,说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.,假分式,9,例 求,解,比较系数,因式分解,所以,10,11,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例 求,解,(1),(1),赋值,所以,12,例 求,解,比较系数,二次质因式,13,于是,14,所以,15,任意有理真分式的不定积分都归纳为下列,其中A,B,a,p,q都为常数,并设,四种典型部分分式的积分之和.,n为大于1的正整数.,16,分别讨论上述几种类型的不定积分.,17,18,19,20,用递推公式,21,应重点提高计算的,(1)部分分式法;,此法一般运算较繁.,(2)拆项法;,(分项积分法),(3)换元法;,(4)配方法.,有理函数积分是三角函数有理式积分、,无理函数积分的基础,熟练程度和技巧,一般有以下方法:,22,例 求,分析,解,原式=,分项,凑微分,从理论上看,可用部分分式法,但计算复杂,故不宜轻易使用,应尽量考虑其它方法.,约去公因子,配方,23,例 求,解,原式=,这是有理函数的积分.,如按部分分式法很麻烦.,使分母为单项,作变换,分析,分母是100 次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,化为和差的积分.,除一下,24,或,分项,25,技巧,例 求,解,原式=,26,例 求,解,是二次质因式,原式=,递推公式,法一,不能再分解.,27,求,解,原式=,回代,递推公式,法二,28,求,解,令,练习,指数代换,29,30,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过,有限次四则运算,构成的函数称之.,一般记为,如,二、可化为有理函数的积分举例,1.三角函数有理式的积分,分部积分法讨论过一些.,对于三角函数有理式的积分,曾用换元法和,是否任何一个三角函数有理式的积分都有,回答是肯定的.,?,原函数,31,由三角学知识,可通过变换,事实上,由,半角变换(或称万能代换),则,表示.,化为有理函数的积分.,因为,32,u的有理函数,33,例 求,解,由万能代换,34,回代,35,例 求,解 法一,回代,36,法二,修改万能代换公式.,令,说明,及,的有理式的积分时,更方便.,用代换,通常求含,37,法三,不用万能代换公式,比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.,38,(1)尽量使分母简单.,基本思路,或分子分母同乘以某个,因子,把分母化为,的单项式,或将分母整个看成一项.,(2)尽量使,的幂降低.,用倍角公式或积化和差公式以达目的.,为此常利,39,练习,解,法一,法二,40,练习,考研数学一,5分,解,分子分母同乘以,分项,41,类型,解决方法,作代换去掉根号.,通常先将,配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或,直接利用积分公式计算.,2.简单无理函数的积分,42,回代,例,解 令,原式=,43,例 求,解,先将无理函数的分子或分母有理化.,分析,原式,44,例,解,令,则,原式=,回代,45,练习,2009年考研数学(二,三)解答题,10分,解,令,分部积分,回代,则,而,46,练习,考研数学一,5分,解,令,分部积分,回代,47,2.简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,(注意:必须化成真分式),1.三角有理式的积分.(万能代换公式),(注意:万能公式并不是最佳代换),三、小结,可化为有理式的积分.,48,思考题,确定系数A、B使下式成立,解,所论等式等价于,即,通分,49,亦即,从而有,解得,无解.,50,作业,习题4.6(128页),