曲线的参数方程.ppt
曲线的参数方程,一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,如图，建立平面直角坐标系。,因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。,x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，,由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；,（2）沿oy反方向作自由落体运动。,在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？,物资出舱后，在时刻t，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：,y=500-gt2/2，,物资落地时，应有y=0，,得x10.10m；,即500-gt2/2=0，解得，t10.10s，,因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。,在t的取值范围内，给定t的一个值，由可以唯一确定 x，y的值，也就是说，当t确定时，点M（x，y）的位置就唯一确定了.,由上所述，可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放的时机.,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。,并且对于 t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，,参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,.参数方程的概念,例1:已知曲线C的参数方程是（为参数）(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。,解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上,(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以,解得t=2,a=9 所以，a=9.,B,A(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(25/16,0),D,A(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0),已知曲线C的参数方程是,点M(5,4)在该曲线上.,(1)求常数a;,由题意可知:由1+2t=5，得t=2；由at2=4；得a=1，,圆周运动中，当物体绕定轴作匀速转动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？,.圆的参数方程,设点M从初始位置（时的位置）出发，按逆时针方向在圆o上作匀速圆周运动，点M绕点o转动的角速度为,即怎样表示圆上各点的坐标？,显然，点M的位置由时刻唯一确定，因此可以取为参数。,那么=t.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有,如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x,y)，,即,这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程,参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻),考虑到=t，也可以取为参数，于是有,这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程.,其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度（半径OM的旋转角）,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,例2：如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,由中点坐标公式可得,因此，点M的轨迹的参数方程是,轨迹是什么曲线？,cos=x-3,sin=y;于是(x-3)2+y2=1，,在例中，由参数方程,直接判断点M的轨迹的曲线类型比较困难，但如果把参数方程化为普通方程就很清楚了。,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.,.参数方程与普通方程的互化,将曲线的参数方程化为普通方程有利于识别曲线的类型.,例、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,解:(1)由,得,代入,得到,这是以（1，1）为端点的一条射线；,所以,这是抛物线的一部分；,把参数方程化为普通方程常用方法有三种：,2.三角法：,利用三角恒等式消去参数,在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。,把普通方程化为参数方程的方法：,普通方程化为参数方程需要引入参数；,一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:,就是曲线的参数方程。,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致,例：求椭圆,的参数方程：,解：把,因此，此椭圆的参数方程为,解：把,因而与 y=x2不等价；,练习:,曲线y=x2的一种参数方程是（）.,在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,1.已知动圆方程 为参数），那么圆心的轨迹是（）A.椭圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.抛物线的一部分,解：圆心轨迹的参数方程为：消去参数得：,D,课堂练习,.（2009 广东卷）若直线（为参数）与 直线（为参数）垂直，则 _.,.,解：，得,高考链接,解：由已知圆的参数方程为,1.解：取投放点为原点，飞机飞行航线所在直线为X轴，过原点和地心的直线为Y轴建立平面直角坐标系，得到被投放物资的轨迹方程为：（t是参数，表示时间）令 解得，当 时，由方程得到 即飞机投放救灾物资时飞机高度约为490m,教材习题答案,2.解：设经过时间t,动点的位置是 M（x,y）,那么：x-2=3t，y-1=4t于是点M的轨迹方程的参数为：x=2+3t,y=1+4t,3.解：不妨设的外接圆的半径为1，建立如图 平面直角坐标系，使点B,C关于X轴 对称，那么外接圆的参数方程是：,A,B,C,O,（t为参数）,（为参数）,A,B,C的坐标分别为（1，0），设点M，则,4.解：（1）直线；（2）以 为端点的一段抛物线弧（3）双曲线,5.解（1）（为参数）（2）（为参数）,
