数理金融学债券投资与期度分析.ppt

1,数理金融学 第5章,债券投资与期度分析,2,前面我们介绍了证券组合理论，以及基于其上的CAPM 模型，严格地说我们在那里的证券组合实际上是股票组 合，即是以普通股作为研究对象的，在前两章我们实际 上把对债券的投资，特别是国库券等，看做是无风险投 资，这是因为相对股票来说，债券属于确定性收益的证 券的缘故。,债券投资也存在风险。一般来说，债券的风险主要基于下面三个来源。,1违约风险,2购买力风险，或称通货膨胀风险，,3利率风险,本章来研究债券的投资问题。,3,5.1 债券定价,现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method,简称DCF)，又称收入法或收入资本化法。DCF认为任何资产的内在价值（Intrinsic value）取决于该资产预期的现金流的现值。,4,为简化讨论，假设只有一种利率，适合于任何到期日现金流的折现债券每期支付的利息相同，到期支付本金,年金因子,现值因子,5,5.2 到期收益率,到期收益率（Yield to maturity）：使债券未来支付的现金流之现值与债券价格相等的折现率。到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率,6,7,到期收益率实际上就是内部报酬率(internal rate of return)注意：债券价格是购买日的价格，购买日不一定是债券发行日到期收益率能否实际实现取决于3个条件：投资者持有债券到期无违约(利息和本金能按时、足额收到）收到利息能以到期收益率再投资,以到期收益率再投资,9,5.2.1 判断债券价格低估还是高估的方法,第一种，比较到期收益率与实际利率的差异。若yi，则该债券的价格被低估；如果yi，该债券的价格被高估,实际利率,10,第二种方法，比较债券的内在价值与债券价格的差异。我们把债券的内在价值V0与债券价格P0之间的差额，定义为债券投资者的净现值NPV。当净现值大于零时，意味着内在价值大于债券价格，即实际利率低于债券承诺的到期收益率，该债券被低估；反之，当净现值小于零时，该债券被高估。,11,价格与到期收益具有反向相关关系。对于固定的收入流，要使得投资者的到期收益率越高，投资者购买债券的价格就必须越低，这样投资回报才越高。当到期收益率为0时，债券的价格正好等于它的所有现金流的和。比如票面利率为10的曲线，每年为10元，一共30年，得到300点，再加上100元的面值，得到的价格为400元。,5.2.2 债券价格与到期收益率,12,价格表示为到期收益率的函数。图中价格表示为面值（100元）的倍数；所有债券的期限为30年；每条曲线上的数字表示票面利率。从图可以看出4个特征。,13,当到期收益率和票面利率相等时，债券的价格正好等于其面值。例如票面利率为10%的曲线，当到期收益率为10%时，其中的价格正好等于100元。这两者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于10%的收益，从而每年的价格保持不变，均为100元。当到期收益率越来越大时，债券的价格趋于零。,14,例题,某公司债券的面值为100元，现距离到期日为15年，债券的票面利率为10，每半年付息一次。若该债券的现价为105元，求到期收益率。解：利用公式（2）有,15,总结：Malkeil定理,由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，若市场是有效的（无套利条件），则内在价值价格。在市场有效的前提下，Malkeil的5个定理总结了债券价格（现值）与这些因素的关系。,定理1：债券价格与市场利率具有反向相关关系。定理2：若利率不变，则债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正相关关系。,原因：长期债券由于期限长，利率对其价格的作用大。,17,定理3：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，但增加的速度递减。n2年与n+1年的差异小于n1年与n年之间的差异,证明：分别观察n年期、n+1年期和n2年期债券投资者最后1年、2年和3年现金流的现值,18,由于,则有,原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增速递减。,定理4：对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格下降的幅度。证明：任取t时刻现金流Ct的折现值，只要证明每个时刻的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。,21,定理5：除折现债券和永久债券外，息票率越低的债券受市场利率的影响越大。息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。本金是现金流最主要的组成部分，其现值（绝对数）受利率的影响最大。由1、2即有定理5。,22,5.2.3 债券属性与价值分析,到期时间根据Malkiel定理2和定理3，若其他条件不变，则债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大，但波幅增量递减。息票率的影响若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大（定理5）。,23,溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消了较高的利息收入,可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内在价值。,当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。,市场利率高时，赎回风险可忽略不计，两种债券的价差可以忽略。,25,税收待遇：享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券,故其价格较高无套利原理，经税负调整后的税后报酬率应等于特征相同的免税债券的报酬率税负债券必须支付税负贴水（tax premium）,26,流动性:债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。债券的流动性越大，价格越高违约风险越高，投资收益率也越高违约风险高，则信用等级低，价格低可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低 可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。,27,5.3 久期和凸性,市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。,28,5.3.1 久期(Duration),D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。,利率或到期收益率,29,例子,例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，收益率为10%，息票率为8%，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。,30,久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占总现值的比例,31,Macaulay久期定理,定理1：只有无息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。,32,定理2：附息债券的Macaulay久期小于它们的到期时间。,33,定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。,34,Macaulay久期定理,定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。Malkeil定理2定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。Malkeil 定理3,35,定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。,36,久期：现金流现值翘翘板的支点,时间,现值,久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！,37,利用久期度量风险,例子：假设一个10年期零息债券，10年期即期利率为8且具有0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？,38,久期的缺陷,久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。用3个月的即期利率来折现30年的债券显然是不合理的,39,5.3.2 凸性,久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。能否从数学上给予解释？,40,泰勒展开与凸性,凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅度要小。在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。,41,练 习,给定以上数据，当到期收益率上升到7时，债券的价格将如何变化？,42,5.3.3 债券组合的久期,由于久期是债券价格对利率敏感性的线性计量，因此，一个债券组合的久期就是对该组合中个别债券久期的加权平均。,43,债券组合免疫,2004年初，经测算某养老金负债的久期为7年，该基金投资两种债券，其久期分别为3年和11年，那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才能不受2004年利率风险变化的影响？,问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，该公司要不要对投资权重进行调整？,44,由于负债的到期日又接近了，因此，可能导致债务和债权之间的久期不一致，就需要再平衡。问题：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味着每天需要调整？债券免疫策略：资产管理者需要再不断再平衡以获得良好的免疫功能和进出市场导致的交易成本之间寻求一个折衷的方案。,45,5.4 债券（优先股）评级,债券评级（Rating）是对债券质量的一种评价制度，主要是对债券发行者的信誉评级，核心是违约的可能性。债券评级不是面向投资者的评级，不是对当前某种债券的市场价格是否合理进行评级，也不是推荐你要去投资某一种债券，而只是给债券贴上了商标。问题：高等级的债券的收益是否一定高于低等级的债券？,46,美国的垃圾债券，违约风险相当高，等级非常低，但是其收益是所有债券中最高的。评级是发行者的自愿行为，在西方国家，如果债券没有评级，往往不被投资这所认可，难以体现债券的特色，债券评级类似市场细分，就难以找到销路。问题：债券评级需要花费巨大的评级费用，谁来支付？,由债券发行者支付，所以评级是面向筹资者的，筹资者需要将此信息向市场公布，投资者就可以免费获得信息，或者说，评级是筹资者花钱做的广告。上海规定：只有债券达到一定的等级才能发行，合理吗？,47,5.4.1 评级的依据,仅仅介绍标准普尔（standard poor）债券评级违约的可能性：还本付息的能力和意愿债务的性质和条款：债权人是否优先，在破产清算和利息支付中的位置，是否有担保等。非常情况下的债权人的权利保障情况。,48,5.4.2 评级的步骤,收集足够的信息来对发行人和所申报的债券进行评估，在充分的数据和科学的分析基础上评定出适当的等级。监督已定级的债券在一段时期内的信用质量，及时根据发行人的财务状况变化的反馈作出相应的信用级别调整，并将此信息告知发行人和投资者。问题：一个公司的不同债券的级别是否相同？一个企业的同种债券在不同时候级别是否相同？,49,主要级别,AA-,AA,A-,A+,表示略高于或低于该级别,CCC,其他级别,BB,B,CC,DDD,DD,D,C,投机级,50,AAA是信用最高级别，表示无风险，信誉最高，偿债能力极强，不受经济形势任何影响；AA是表示高级，最少风险，有很强的偿债能力；A是表示中上级，较少风险，支付能力较强，在经济环境变动时，易受不利因素影响；BBB表示中级，有风险，有足够的还本付息能力，但缺乏可靠的保证，其安全性容易受不确定因素影响，这也是在正常情况下投资者所能接受的最低信用度等级，或者说，以上这四种级别一般被认为属投资级别，其债券质量相对较高。,51,后几种级别（到C为止）则属投机级别，其投机程度依此递增，这类债券面临大量不确定因素。特别是C级，一般被认为是濒临绝境的边缘，也是投机级中资信度最低的。D等信用度级别，则表示该类债券是属违约性质，根本无还本付息希望，如被评为D级，那发行人离倒闭关门就不远了。因此，是三个D还是两个D意义已不大。,52,债券评级的客观性和公平性（1）民间经济警察的角色在西方发达国家，债券评级机构是私人的盈利性企业，这些机构以生产信息来盈利，因此，信息必须有价值，信息的价值首先就要求客观、真实。由于其是私人的机构不受政府的限制。评级机构只要一次违规，将对其未来的生存构成威胁，而且随时准备吃官司世界5大会计师事务所之一的安达信就一次违规而破产，现在只有4大。,53,（2）信息的正反馈效应独立性盈利性可性度，形成正反馈机制。问题：中国的会计师事务所为什么没有成为民间经济警察？政府的附属机构，很多与财政部门藕断丝连，会计师事务所有行政级别。事务所多，国家采取合并，反而使门槛降低，竞争更加激烈。引申：高校合并游戏规则要由民间制定。,54,附录：普通股编列（ranking）普通股没有评级，只有编列（ranking）有的书上说普通股有级别是不对的，普通股不存在什么违约风险（为什么？）。普通股编列的意义与债券的评级完全不同。考察指标有：红利的增长以及增长的稳定性以往的业绩发行公司的大小,55,现行的对违约债券风险管理的主要工作是，完备债券评估体系，使之向客观化（而不是凭经验）、科学化的定量分析方向发展。,Fisher以政府债券作为参考债券,再选择和政府债券到期,期限相同的企业债券,根据我们上面叙述,对于到期,期限,相同的企业债券和政府债券来说,由于企业存在违约的可,能,所以前者的到期收益率一定较后者的到期收益率大,设二者之差为,Fisher选择了发行该债券的公司的若干,指标,以这些指标作为解释变量,作为被解释变量,进行,多元回归分析,得到如下的回归式:,56,这里,盈利变动性指标,有偿付能力的时间长度,自有资金和债的比例,即资本结构,发行的债券的数量,常数,而且这个回归式的总体相关系数非常大,达到81%,这说明,的变化的81%可由这些公司指标来解释.,57,购买力风险的规避,所谓购买力风险实际就是可能的通货膨胀造成债券,实际价值的下跌。有效规避购买力风险的方法就是构造,国际债券组合。,例如,Robison等人对世界主要的12个发达国家的债券,进行了研究,得到了用美元调整的不同国家债券的收益率,的相关系数.,58,59,根据这个表和前面介绍的组合的投资理论,我们选择目标,收益水平分别为,8%,9%,10%11%,分别得到四个最小的,方差组合如下表:,60,Robison等人的研究还表明，如果构造混和的国际债券和,股票的组合，,那么对风险分散的效果将会更好.,61,根据上述数据和组合投资模型,Robison设定了5个期望收益率水平8.5%,10%,11.5%,15%和18.5%,得到了相应的五,个股票,债券的最小方差组合如表所示:,62,比较表我们不难发现,含有国际股票,债券的组合的分散风险的效果,比只含有国际债券的组合分散风险效果要好得多.,63,利率风险的规避,设现有一债券组合，其收入序列为,序列,这里N为该债券组合的到期期限，如果资金市场的利率为,，那么其价值为,由于债券是确定型收益证券，故当不考虑违约时，收入,是不变的，故债券的价值仅仅与利率有关，如果,当投资者已经投资了一组合后，市场利率立即降低，这,当然对,该投资者有利，但如果利率上升，那么该投资者,手中持有的组合的价值就会下跌，投资者就要蒙受损失，,所谓利率风险即指后面这种情况发生的可能性。,所谓利率风险规避即指采取什么样的操作策略，使得,64,即使利率上升，投资者手中的组合的价值不至于因此而,贬值。,我们唯一能做的就是手中持有该组合的时间投资,计划的长短。我们不妨设投资计划期为q，那么，如果市,场利率为，组合的价值为，经过q期后，其价值为,如果投资者一投资后，市场利率即由,变为,，,，那么,组合的价值即由 变为，于是在q期后其价值为,比较上面两式，我们不难发现,的变化对,和,的影响是相反的。因此利率风险规避就是寻求一个投资,计划期，使得在上述条件下，恒有,65,上式的实际意义就是，如果投资期为,，那么无论利率,是上浮还是下浮，投资者手中的组合均不会由此而发生,贬值。上式的数学意义是，对于一恰当的q，使得,成为函数,的极小点。,则得,我们按上式来选取投资计划期，则我们持有的债券组合 不会因利率波动而贬值。我们不难发现这里有q=D。综上，我们得到如下定理：定理5.1（屏蔽定理）如果投资者取一债券组合的期度作 为其投资计划期，则该组合不会因为利率波动而贬值。推论5.1 一个债券组合的期度等于构成该组合内各个债券 的期度的加权平均，权数就是每个债券的组合系数。,66,例：设我们用1000000元向两个价格均为100元的平价附息债券投资，这两个债券的息率均是10%。一个债券的到期期限是20（每期半年），期度是13.085321;另一个债券的到期期限是40,其期度是18.017041.我们向这两个债券投资的比例是依照所构造的组合的期度为16而定的,如果设向第一个债券投资的份数为,则根据推论5.1,有,解得,于是如果我们购买4089.93份第一种债券和5910.07份另一种债券,则它们的期度是16.,由于债券均是平价债券,则我们可知市场利率是10%(年利率),如我们刚投资后市场利率变为,则我们按前面的有关公式来计算,得到下表,67,68,现在我们用上表来确定我们的投资计划期,如果我们的投资计划期,那么,如果利率上浮,则我们组合的价值将会,贬值,对应于上表中前16行中利率为10.0%的那一列中任何,一个数字均比它同行右边中的数字大,如果我们的投资计划期,则利率下调会使我们组合的价值贬值,对应于,表中后10行,利率为10.0%的那一列中任何一个数字均比,它同行左边中的数字大.,只有当,(债券组合的期度)时,10%下的,=2183(千元)比它同行中”左邻右舍”均要小,即无论,利率怎样变化,16期后债券的值都不会减小,总是有,69,利率期限结构：债券的到期收益率（Yield to maturity）与债券到期日（the term to maturity）之间的关系把利率表示为到期日的函数，用以体现不同到期日利率的方式利率的风险结构到期收益率与未来短期利率有关系,未来短期利率,相关,5.5 利率期限结构理论,70,5.5.1 未来的利率期限结构,假设债券市场上所有的参与者都相信未来5年的1年期短期利率（Short interest rate）如表1所示。,表1 第n年的短期利率,71,2.求零息债券当前合理的价格假设零息债券面值为100元，则由表1可得该债券的合理价格，如表2所示,表2 零息债券的合理价格,72,3.由面值和表2给出的合理价格，计算零息债券到期收益率,表3 到期收益率,73,74,75,5.5.2 远期利率,未来的短期利率在当前时刻是不可知道的，所以以短期利率的期望值E(ri)作为未来短期利率的无偏估计（假设条件）。短期利率的期望值可以通过远期利率基于三种不同的理论来估计。市场期望理论流动性偏好理论市场分割理论,76,远期利率（Forward rate）：由当前市场上的债券到期收益计算的未来两个时点之间的利率水平。两种n年期的投资策略，使收益满足相同的“收支平衡关系”的利率：（1）投资于n年的零息债券；（2）先投资于n1年的零息债券，然后紧接着投资1年期的零息债券注意：远期利率可以从当前债券的市场价格来估计，它不一定等于未来短期利率的期望值，更不一定未来是短期利率。,77,由3年零息债券的到期收益率和2年零息债券的到期收益率推断出的第3年的远期利率。,78,因此，第n年的1年期远期利率为,79,当前零息债券的价格,当前不同期限债券的到期收益率,远期利率,未来短期利率的期望值,三种不同的假定：（1）市场期望理论（2）流动性偏好理论（3）市场分割理论,未来不同期限债券的到期收益率,未来利率期限结构,当前利率期限结构,5.5.3 未来利率期限结构,80,当前利率结构为上升式，但预计未来更是上升，故长期利率将上升，故应该看空长期债券。,当前的利率结构为上升式，但预计未来为水平式，则长期利率将下降，故应该看多长期债券。,81,5.6 利率期限结构理论,市场期望理论（the market expectations theory）未来短期利率期望值远期利率流动性偏好理论（the liquidity perference theory)长期债券必须有流动性溢价（liquidity premium）市场分割理论（the market segentation theory)长期债券和短期债券分别适应于不同的投资者,82,5.6.1 市场期望理论,假设条件：投资者风险中性仅仅考虑（到期）收益率而不管风险。所有市场参与者都有相同的预期，金融市场是完全竞争的；在投资人的资产组合中，期限不同的债券是完全替代的。,83,在上述的假定下，投资于两年到期的债券的总报酬率，应等于首先投资于1年到期的债券，随后再转投资于另一个1年到期的债券所获得的总报酬率，即,第1年投资（已知）,第2年投资（预期）,84,先投资两年期债券，再投资1年期债券,85,利率期望理论的结论若远期利率（f2,f3,.,fn）上升，则长期债券的到期收益率yn上升，即上升式利率期限结构，反之则反。有没有可能是水平式的结构？有没有可能是驼峰式？若从实际来看，长期投资更具有风险，那么这意味着风险溢价为0长期投资与短期投资完全可替代：投资于长期债券的报酬率也可由重复转投资（roll-over)于短期债券获得。,86,市场期望理论理论下的利率期限结构（曲线）,87,Long-term bonds are more risky.Investors will demand a premium for the risk associated with long-term bonds.The yield curve has an upward bias built into the forward rates because of the risk premium.Forward rates contain a liquidity premium and are more than expected future short-term rates.,5.6.2 流动性偏好理论,88,流动性报酬为,由于投资者不愿意投资长期债券，因此为了吸引投资者，投资两年期债券的收益，应高于先投资1年期债券后，再在下1年再投资1年期债券的收益，即,89,例子：比较两个理论,注意：不变的流动性溢价使收益率上升的更上升。,由期望理论得到,90,由上面的例子推广,流动性溢价使得市场期望理论下的利率期限结构（1）上升的更上升（2）下垂的可能上升可能下降,91,1.不变的流动性溢价（l1=l2=,ln)，预期短期利率不变（上升）：上升式,Yields,Maturity,远期利率,收益率曲线,预期的短期利率,92,Yields,Maturity,远期利率,收益率曲线,预期的短期利率,2.不变的流动性溢价（l1=l2=,ln)，预期短期利率下降：驼峰式,93,3.上升的流动性溢价（l1l2,ln)，预期短期利率下降：上升式,Yields,Maturity,远期利率,收益率曲线,预期的短期利率,94,4.上升的流动性溢价（l1l2,ln)，预期短期利率上升：急剧上升,Yields,Maturity,远期利率,收益率曲线,预期的短期利率,95,5.微小的流动性溢价，预期短期利率下降：下降式（缓慢）,Yields,Maturity,流动性溢价,到期收益率,预期短期利率,96,总结：流动性偏好的收益率曲线,若收益率曲线是上升的，并不一定是预期短期利率曲线上升引起的。若收益率曲线下降或者驼峰式，则预期短期利率一定下降。问题：短期投资者有没有可能投资长期债券？长期投资者有没有可能投资短期债券？,97,5.6.3 市场分割理论,前两个理论都暗含着一个假定：不同到期债券之间相互可以替代的。长短期利率由同一个市场共同决定。市场分割理论认为长短期债券基本上是再分割的市场上，各自有自己独立的均衡价格（利率）投资者对不同期限的债券有不同的偏好，因此只关心他所偏好的那种期限的债券的预期收益水平。,98,按照市场分离假说的解释，收益率曲线形式之所以不同，是由于对不同期限债券的供给和需求不同。,99,对市场分割理论的评述,与事实不符合，不符合无套利原则，只有市场无效率，长短期投资者互不知道对方信息，从而一方未能抓住另一方的获利机会类比：投资者与投机者角色转换资金的流动受到阻碍所以，不同到期日的债券是相互竞争的，即所谓的“优先置产理论”（preferred habit theory)。市场分割理论已基本上被抛弃！,100,练 习,假设无息债券的到期收益率如下：,（1）计算远期利率（2）若市场期望理论成立，请建立利率期限结构（3）若流动性报酬由第2年起为1，请建立利率期限结构形式（提示：利用（2）的结果）,