拉普拉斯变换(上海大学课件).ppt

工 程 控 制 原 理2.数学模型与传递函数2.2 拉普拉斯变换,主讲：周晓君 办 公 室：机械副楼209-2室 电子邮件：办公电话：56331523,2.2 拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。,2.数学模型与传递函数,频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。,2.2.1 复数和复变函数 复数的概念 复数 s=+j（有一个实部 和一个虚部，和 均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。,2.2 拉普拉斯变换,称为虚数单位,复数的表示法 对于复数 s=+j 复平面：以 为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或s平面。复数 s=+j 可在复平面s中用点(,)表示：一个复数对应于复平面上的一个点。,2.2.1 复数和复变函数,复数的向量表示法 复数 s=+j 可以用从原点指向点(,)的向量表示。向量的长度称为复数的模：,2.2.1 复数和复变函数,向量与 轴的夹角 称为复数s的复角：,复数的三角函数表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得：=r cos，=r sin 复数的三角函数表示法：s=r(cos+j sin),2.2.1 复数和复变函数,欧拉公式：,复数的指数表示法：,复变函数、极点与零点的概念 以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：G(s)=u+jv式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。,2.2.1 复数和复变函数,当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的 零点；,通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。,当复变函数表示成,(b)当s=-pj时，G(s)，则sj=-pj称为G(s)的 极点。,例：当s=+j时，求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。,2.2.1 复数和复变函数,复变函数的实部,复变函数的虚部,解：G(s)s2+1(+j)2+1 2+j(2)-2+1(2-2+1)+j(2),2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。,2.2 拉普拉斯变换,复变量,原函数,象函数,拉氏变换符号,拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数 F(s)。,设有时间函数 f(t)，当 t 0 时，f(t)0；在 t0时定义函数 f(t)的拉普拉斯变换为：,拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：当t0时，f(t)分段连续，只有有限个间断点；当t 时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即,2.2.2 拉普拉斯变换的定义,在复平面上，对于Res a的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变换的定义域，a称为收敛坐标。,式中：M、a为实常数。,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数 单位阶跃函数定义：,2.2 拉普拉斯变换,(2)单位脉冲函数 单位脉冲函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,且：,(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,(4)指数函数 指数函数表达式：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,式中：a是常数。,(5)正弦信号函数 正弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，正弦函数表达为：,(6)余弦信号函数 余弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，余弦函数表达为：,拉普拉斯变换简表(待续),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续1),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续2),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续3),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续4),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续5),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质(1)线性定理 若、是任意两个复常数，且：,2.2 拉普拉斯变换,证明：,(2)平移定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,证明：,则：,(3)微分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,证明：,则：,f(0)是 t=0 时的 f(t)值,同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：,(3)微分定理 推广到n阶导数的拉普拉斯变换：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,如果：函数 f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即,则：,(4)积分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：,(4)积分定理 同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,若：函数 f(t)各重积分的初始值均为零，则有,注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。,(5)终值定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,写出左式积分,(6)初值定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,或者,(7)卷积定理 两个时间函数 f1(t)、f2(t)卷积的拉普拉斯变换等于这两个时间函数的拉普拉斯变换。,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,式中：,2.2.5 拉普拉斯反变换(1)拉普拉斯反变换的定义 将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：,2.2 拉普拉斯变换,拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。,如果把 f(t)的拉氏变换 F(s)分成各个部分之和，即,2.2.5 拉普拉斯反变换,假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么,当 F(s)不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将 F(s)分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s)的拉氏反变换 f(t)函数。,(2)部分分式展开法 在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：,2.2.5 拉普拉斯反变换,式中A(s)和B(s)是s的多项式，B(s)的阶次较A(s)阶次要高。,对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母 B(s)应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s)的拉氏反变换函数。,将分母 B(s)进行因子分解，写成：,2.2.5 拉普拉斯反变换,式中，p1，p2，pn称为B(s)的根，或F(s)的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。,当 A(s)的阶次高于 B(s)时，则应首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一个s的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。,(1)分母B(s)无重根 此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即,式中，ak(k=1,2,n)是常数，系数 ak 称为极点 s=-pk 处的留数。,2.2.5 拉普拉斯反变换,ak 的值可以用在等式两边乘以(s+pk)，并把 s=-pk代入的方法求出。即,2.2.5 拉普拉斯反变换,在所有展开项中，除去含有 ak 的项外，其余项都消失了，因此留数 ak 可由下式得到,因为 f(t)时间的实函数，如 p1 和 p2 是共轭复数时，则留数 1 和 2 也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数1(或2)，而另一个复留数 2(或 1)，自然也知道了。,2.2.5 拉普拉斯反变换,例题1 求F(s)的拉氏反变换，已知,解,由留数的计算公式，得,2.2.5 拉普拉斯反变换,因此,查拉氏变换表，得,2.2.5 拉普拉斯反变换,解：分母多项式可以因子分解为,进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式,2.2.5 拉普拉斯反变换,例题2 求L-1F(s)，已知,2.2.5 拉普拉斯反变换,由留数的计算公式，得,由于2与1共轭，故,所以,2.2.5 拉普拉斯反变换,2.2.5 拉普拉斯反变换,查拉氏变换表，得,(2)分母B(s)有重根 若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为,式中系数2,3,n仍按照上述无重根的方法(留数计算公式)，而重根的系数11,12,13可按以下方法求得。,2.2.5 拉普拉斯反变换,2.2.5 拉普拉斯反变换,依此类推，当 p1 为 k 重根时，其系数为：,例题3 已知F(s)，求L-1F(s)。,2.2.5 拉普拉斯反变换,由上述公式,2.2.5 拉普拉斯反变换,查拉氏变换表，有,2.2.5 拉普拉斯反变换,因此，得：,利用拉氏变换解微分方程的步骤：(1)对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为 s 变量的代数方程。(2)对以 s 为变换的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间 t 为参变量）微分方程的解。,采用拉氏反变换的方法，可以求得线性定常微分方程的全解(补解和特解)。求解微分方程，可以采用数学分析方法(经典方法)，也可以采用拉氏变换方法。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。,2.2.5 拉普拉斯反变换,例题 解方程,利用拉氏变换解常系数线性微分方程,其中：,解：将方程两边取拉氏变换，得,将 代入，并整理，得,所以,