数理方程第五章特殊函数.ppt

下午7时32分,1,第五章 贝塞尔函数,5.1 贝塞尔方程的导出,设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。,问题归结为求解如下定解问题：,下午7时32分,2,令：,令：,下午7时32分,3,n阶贝塞尔方程,周期特征值问题,的特征值和特征函数分别为,令,下午7时32分,4,n阶贝塞尔方程(n为任意实数或复数),令：,5.2 贝塞尔方程的求解,假设,由于,，所以有,下午7时32分,5,情形1 n不为整数和半奇数,当c=n时,则有,令,于是,得到贝塞尔方程的一个特解(称为n阶第一类贝塞尔函数),当p为正整数时,当p为负整数或零时,下午7时32分,6,当c=-n时，令,于是,得到贝塞尔方程的另一个特解(称为-n阶第一类贝塞尔函数),显然,线性无关，于是n阶贝塞尔方程的通解为,(称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数),如果取,则得到方程的另一个与,线性无关的特解,于是n阶贝塞尔方程的通解又可表示为,下午7时32分,7,情形2 n为整数,此时,线性相关。令,可以证明,线性无关的特解，,是贝塞尔方程的与,于是，此时n阶贝塞尔方程的通解为,情形3 n为半奇数(类似讨论),下午7时32分,8,A、B为任意常数，n为任意实数,下午7时32分,9,性质1 有界性,性质2 奇偶性,5.3 贝塞尔函数的性质,当n为正整数时,下午7时32分,10,性质3 递推性,下午7时32分,11,例1 求下列微积分,下午7时32分,12,下午7时32分,13,性质4 初值,性质5 零点,有无穷多个对称分布的零点,的零点趋于周期分布，,下午7时32分,14,性质6 半奇数阶的贝塞尔函数,下午7时32分,15,性质7 大宗量近似,下午7时32分,16,性质8 正交性,称,n阶贝塞尔函数系,在区间(0,R)上带权函数r正交：,其中,为n阶贝塞尔函数的零点，即,为n阶贝塞尔函数 的模。,下午7时32分,17,正交性的证明：先将n阶贝塞尔方程写成如下形式,则有,记,于是,取,并利用,即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大家自己完成。,下午7时32分,18,下午7时32分,19,5.4 傅立叶-贝塞尔级数,定理 如果,在(0,R)内分段连续,且积分,的值有限，则,能展成傅立叶贝塞尔级数：,并且在,的连续点,级数收敛于,；而在,的间断点，级数收敛于,，其中,下午7时32分,20,解,，其中,由于,从而,于是有,下午7时32分,21,解,，其中,由于,从而,于是有,下午7时32分,22,解,，其中,由于,从而,于是有,下午7时32分,23,例1:求解圆形薄盘上的热传导问题,5.5 贝塞尔函数的应用,设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为，其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。,下午7时32分,24,令：,下午7时32分,25,下午7时32分,26,设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度为，试求该薄膜的振动规律。,问题归结为求解如下定解问题：,例2:求解圆形薄膜轴对称振动问题,下午7时32分,27,令,下午7时32分,28,从而，原问题有形式级数解,下午7时32分,29,令,设,为1阶贝塞尔函数的非负零点，即,则有,(见课后练习),下午7时32分,30,