微积分下总复习.ppt
一、不定积分的概念与性质,1、定义:,2、如何思考求,基本思路:,3、运算性质,(1),(2),是常数);,4、基本积分表,基本积分表(续),(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),基本积分表(续),(8),1、思路:,移入,回代,换元,积分,关键:,移入,移哪个:,简单的、好移的,移的目的:,前后一致,二、第一类换元法(凑微分法),2、凑微分法过程:(1),明确移哪个,前后凑成一致,检验修正:,(2)换元,(3)积分,(4)回代,3、例,P151,例,三、第二类换元法,1、思路:,换元,积分,微分,还原,关键步骤:,第一步,换元,2、说明:,(1)应用题型:,含根式函数的积分,(2)关键:,换元,换元的目的:去掉根号,换元的方法:,三角代换,根式代换,倒代换,1、分部积分法的思路:,移,套公式,微分,积分,四、分部积分法,2、题型:,移的规律:,非多项式优先移,例.P159,例,五、定积分的概念与性质,1.几何意义:,由连续曲线,以及直线,所围成的图形的面积为:,1)规定:,2)性质,2、定积分的性质,4)性质,3)性质,(k 为常数),若在 a,b 上,则,5)性质,6)性质,设,则,8)性质,7)若在 a,b 上,则,则至少存在一点,可使,9),六、积分上限函数及其导数,1、定义,称为积分上限函数或变上限积分。,2、性质,例:,例题:p172,3(1)(2),七、牛顿 莱布尼茨公式,1、定理.,函数,则,2、如何求,先求不定积分,再套公式,1、第一换元法(凑微分法),移、凑、检修,换元,八、定积分的求法,积分,套公式,换上下限,例:P177,3(1)(3),2、定积分的第二换元法,例 计算,4、分部积分法的思路:,移,套公式,计算、微分,积分,P183,1(1)(5),5、广义积分:,如何求,先求不定积分,再套公式,求极限,九、多元函数微积分,1、在空间直角坐标系中,任意两点,之间的距离为,2、多元函数的概念,如何求二元函数的定义域:,求使函数有意义的自变量 x,y 的取值范围.,例:,3、怎样求二元函数的极限?,方法:,代入法、函数变形法、无穷小的性质、等价替换法等,时,当,例.求极限,例.求极限,例.求,4、求偏导数的方法:,z=f(x,y),在z=f(x,y)中,把x看做常数,对y求导,在z=f(x,y)中,把y看做常数,对x求导,例.求函数,解:,的二阶偏导数,5、如何求二阶偏导数,则,定理:,6、如何求全微分,7.多元复合函数求导(求偏导)方法:,(1)画出变量的结构示意图,(2)写出求解公式,(3)求解,8、隐函数求导(偏导数)方法,(1)问题:,设方程,函数 y=f(x),求,可确定,方法:,(2)问题:,设方程,z=f(x,y),求,方法:,可确定,(1)求偏导数:,9、,(2)求驻点:,(3)进行判别:求A、B、C,以及,(1)当积分区域D为:,X型,10、二重积分,注意:X型:先对 y 积分,后对 x 积分,(2)积分区域D为:,Y型,注意:Y型:先对 x 积分,后对 y 积分,3)二次积分的计算思路,(1)画出积分区域D,(2)判别D的类型,(3)写出求解公式:,(4)计算积分,先写积分次序,再写积分上下限,1)若区域既是 X-型又是 Y-型,,则,11、交换积分次序,交换积分次序,若给定二次积分,如何交换积分次序?,(1)由积分限画出积分区域;,D:,(2)把积分区域看成另一类型,用不等式表示;,D:,(3)写出结果,2),方法:,例.交换积分次序,解:积分域为:,将 D 视为Y型区域,则,所以,