4动态电路的时域分析.ppt

,第四章 动态电路的时域分析,4.1 动态元件 4.2 动态电路的方程 4.3 一阶电路的零输入响应 4.4 一阶电路的零状态响应 4.5 一阶电路的完全响应 4.6 一阶电路的单位阶跃响应 4.7 二阶电路分析 4.8 正弦激励下一阶电路的响应 4.9 小结,4.1 动 态元件,图 4.1-1 线性时不变电容元件,电荷量q与其端电压的关系为,式中C称为电容元件的电容量，单位为法拉(F)。电容元件简称为电容，其符号C既表示元件的参数，也表示电容元件。在电路分析中，关心的是元件的VAR。若电容端电压u与通过的电流i采用关联参考方向，如图4.1-1(b)所示，则有,（4.1-2）,(1)任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比。如果电容两端加直流电压，则i=0，电容元件相当于开路。故电容元件有隔断直流的作用。(2)在实际电路中，通过电容的电流i总是为有限值，这意味着du/dt必须为有限值，也就是说，电容两端电压u必定是时间t的连续函数，而不能跃变。这从数学上可以很好地理解，当函数的导数为有限值时，其函数必定连续。,将式(4.1-2)改写为,对上式从-到t进行积分，并设u(-)=0，得,电容有“记忆”电流的作用,设t0为初始时刻。如果只讨论tt0的情况，式(4.1-3)可改写为,一般总可以认为u(-)=0，得电容的储能为,电容所储存的能量一定大于或等于零。,例4.1-1 图4.1-2(a)所示电路中的us(t)波形如图(b)所示，已知电容C=0.5F，求电流i，功率p(t)和储能wC(t)，并绘出它们的波形。,解 写出us的函数表示式为,其波形如图(d)所示。根据电容储能,图 4.1 2 例4.1-1用图,图 4.1 2 例4.1-1用图,4.1.2 电感元件,图 4.1 3 实际电感器示意图,图 4.1 4 线性时不变电感元件,(1)任何时刻，电感元件两端的电压与该时刻的电流变化率成正比。如果通过电感的电流是直流，则u=0，电感相当于短路。(2)由于电感上的电压为有限值，故电感中的电流不能跃变。,（4.1-9）,对(4.1-9)式两端同时积分，并设i(-)=0，得,设t0为初始时刻，(4.1-10)式可改写为,（4.1-10）,设电感上的电压、电流采用关联参考方向，由(4.1-9)式，得电感元件的吸收功率为,对上式从-到t进行积分，得电感元件的储能为,4.1.3 电感、电容的串、并联,图 4.1 5 电感串联,根据电感元件VAR的微分形式，有,电感L1与L2相并联的电路如图4.1-6(a)所示，电感L1和L2的两端为同一电压u。根据电感元件VAR的积分形式有,图 4.1 6 电感并联,由KCL，得端口电流,式中,图 4.1 7 电容串联,或写为,若有n个电容Ci(i=1,2,n)相串联，同理可推得其等效电容为,电容C1和C2相并联的电路如图4.1-8(a)所示，电容C1与C2两端为同一电压u。根据电容元件VAR的微分形式，有,由KCL，得端口电流为,图 4.1 8 电容并联,若有n个电容Ci(i=1,2,n)相并联，同理可推得其等效电容为,4.2 动态电路的方程,4.2.1 方程的建立,图 4.2 1 RC串联电路,电路中开关的接通、断开或者电路参数的突然变化等统称为“换路”。,根据KVL列出电路的回路电压方程为,由于,将它们代入上式，并稍加整理，得,图 4.2 2 RL并联电路,图 4.2 3 RLC串联电路,图4.2-3所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电路响应，根据KVL可得,由于,一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。,4.2.2 电路量的初始值计算,我们把电路发生换路的时刻记为t0，把换路前一瞬间记为t0-，而把换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为,（4.2-4）,若在t=t0处，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，它们不能跃变。,一般情况下，选择t0=0，则由(4.2-4)式得,根据置换定理，在t=t0+时，用电压等于u(t0+)的电压源替代电容元件，用电流等于iL(t0+)的电流源替代电感元件，独立电源均取t=t0+时的值。,例 4.2 1 电路如图4.2-4(a)所示。在开关闭合前，电路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。,图 4.2 4 例4.2-1用图,解(1)求开关闭合前的电容电压uC(0-)。由于开关闭合前电路已处于稳定，uC(t)不再变化，duC/dt=0，故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电路如图(b)所示，由图(b)可得,(2)画出0+等效电路。根据换路定律有,(3)由0+等效电路，计算各电流的初始值。由图(c)可知,例 4.2 电路如图4.2-5(a)所示，t=0时开关S由1板向2，在t0时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。,图 4.2 5 例4.2-2用图,解,(1)由t0时的电路，求iL(0-)。,(2)画出0+等效电路。根据换路定律，有,(3)由0+等效电路，计算各初始值。由图(c)可知,例 4.2-3 电路如图4.2-6(a)所示，t=0时开关S由1扳向2，在t0时电路已处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。,图 4.2 6 例4.2-3用图,解(1),(2)画出0+等效电路。根据换路定律有,(3)由0+等效电路，计算各初始值。,求初始值的简要步骤如下：(1)由t0时的电路，求出uC(0-),iL(0-)；(2)画出0+等效电路；(3)由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。,4.3 一阶电路的零输入响应,我们把这种外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电流和电压，称为动态电路的零输入响应。,图 4.3 1 一阶RC电路的零输入响应,(4.3-1),(4.3-2),(4.3-2),令 具有时间量纲,即,电路在t0时，处于稳定状态，电容上的电压为R0Is。当电路发生换路后，电容电压由uC(0+)逐渐下降到零，我们把这一过程称为过渡过程，或称为暂态过程。当t时，过渡过程结束，电路又处于另一稳定状态。时间常数的大小反映了电路过渡过程的进展速度，越大，过渡过程的进展越慢。当t=时，,当t=4时，,图 4.3 2 不同时间常数的uC波形,由KVL得,根据换路定律，得初始条件为,(4.3-9),令=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常数。这样，(4.3-9)式可表示为,由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的，随着时间t的增加，动态元件的初始储能逐渐被电阻R所消耗，因此，零输入响应总是按指数规律逐渐衰减到零。若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么,例 4.3 1 电路如图4.3-4(a)所示。t0时电路处于稳定，t=0时开关S打开。求t0 时的电流iL和电压uR、uL。,图 4.3 4 例4.3-1用图,4.4 一阶电路的零状态响应,电路的零状态响应定义为：电路的初始储能为零，仅由t0外加激励所产生的响应。,图4.4-1 一阶RC电路的零状态响应,其初始条件为,其特征方程为,表 4-1 不同激励时动态电路的特解,4.4-2 一阶RL电路的零状态响应,4.5 一阶电路的完全响应,假若电路的初始状态不为零，同时又有外加激励电源的作用，这时电路的响应称为完全响应。对于线性电路而言，其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和，即,图 4.5-1 一阶电路的等效,图4.5-2 一阶RC电路,(4.5-1),图 4.5-3 一阶RL电路,(4.5-2),假如电路的响应用y(t)表示，激励用f(t)表示，那么由(4.5-1)式和(4.5-2)式可知，一阶电路微分方程的一般形式可表示为,(4.5-3),式中为一阶电路的时间常数。b为常数，其大小由电路结构和元件参数所决定。(4.5-3)式为一阶线性常系数非齐次微分方程。其齐次解为Ae-t/，其中A为待定常数。由于激励f(t)为直流电源，故其特解为常数，令yp(t)=K。这样(4.5-3)式的完全解为,(4.5-4),将初始条件代入上式，得,当t时，上式右端的第二项趋于零，于是得,(4.5-6),y()称为响应的稳态值，它表示在直流电源作用下，t时的响应值。将(4.5-6)式代入(4.5-5)式，得,计算图4.5-3所示RL电路中的电感电流iL。由于iL(0+)=I0，iL()=Us/R和=L/R，代入三要素公式得,上式也可改写为,以图4.5-3所示的电路为例，在求零输入响应时，独立电源要为零，即电压源短路、电流源开路，如图4.5-4(a)所示。这时电感中的初始电流iLx(0+)=I0。由于电路中无独立电源，故t时，电感中储存的磁能全部被电阻所消耗，电感电流iLx()=0。时间常数=L/R,利用三要素公式得,图4.5-4 分别求零输入响应和零状态响应时的RL电路,求零状态响应时，初始状态为零，即iLf(0+)=0，电路如图4.5-4(b)所示。当t时，电路达到稳定，iLf()=Us/R。利用三要素公式得,图 4.5-5 iL的波形,例 4.5-1 图4.5-6(a)所示电路，t=0时开关S闭合，闭合前电路处于稳定。求t0时的电感电流iL。,图 4.5-6 例4.5-1用图,解(1)求iL(0+)。开关闭合前电路处于稳定，电感看作短路，iL(0-)=Is=3A，根据换路定律，有,(2)求iL()。,(3)求。,(4)求iL,例4.5-2 电路如图4.5-7(a)所示，t0时电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。求电容电压uC和电流i.,图 4.5-7 例4.5-2用图,解(1)求uC(0+)和i(0+).t=0-时，电容C相当于开路，故,(2)求uC()和i().,(3)求。,(4)求uC和i。,图 4.5-8 uC和i的波形,4.6 一阶电路的单位阶跃响应,4.6.1 单位阶跃函数单位阶跃函数用(t)表示，其定义为,图 4.6-1 单位阶跃函数,单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流源接入电路的情况。例如图4.6-2(a)所示1V电压源在t=0时接入电路，端口电压可表示为,图 4.6-2 单位阶跃函数示意图,图 4.6-3 阶跃函数和延时阶跃函数,图 4.6-4 矩形脉冲分解,图 4.6-5,4.6.2 一阶电路的单位阶跃响应 当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应。简称阶跃响应，用g(t)表示之。,例4.6-1 图4.6-6(a)所示电路，若以电流iL为输出，求其阶跃响应g(t)。,图 4.6-6 例4.6-1用图,解 根据阶跃响应的定义，令us=(t)，它相当于1V电压源在t=0时接入电路，如图(b)所示，而且电路的初始状态iL(0+)=iL(0-)=0。由图(b)可知，iL的稳态值和该电路的时间常数分别为,线性电路具有两个特性：齐次性和叠加性。若以f(t)表示激励，yf(t)表示电路的零状态响应。,齐次性可表示为,叠加性可表示为,如果电路既满足齐次性又满足叠加性，则该电路是线性的，可表示为,如果电路元件的参数不随时间变化，则该电路为时不变电路。这时，电路的零状态响应的函数形式与激励接入电路的时间无关，即,图 4.6-7 时不变特性,电路的线性时不变特性，将给电路的计算带来许多方便。例如，若电路的激励为图4.6-4(a)所示的矩形脉冲信号，即,根据线性时不变特性，该电路的零状态响应为,例4.6-2 图4.6-8(a)所示电路，其激励is的波形如图(b)所示。若以uC为输出，求其零状态响应。解 激励is可表示为,图4.6-8 例4.6-2用图,故阶跃响应为,零状态响应为,4.7 二阶电路分析,图4.7-1 RLC串联电路,由KVL得,由于,令2=R/L,称为衰减常数，0=1/称为固有振荡频率。,表4-2 二阶电路的齐次解,4.7.1 零输入响应,根据零输入响应的定义，令us=0，同时为了简化讨论中的计算，又不失一般性，令uC(0)=U0，iL(0)=0。,上式为二阶齐次微分方程，其特征方程为,其特征根为,(1)0，即R2。此时p1,p2为不相等的负实数，称为过阻尼情况。令特征根,微分方程的通解为,回路中的电流,放电电流达最大的时刻tm可用求极值的方法解得，令,图 4.7-2 过阻尼时的uC和i的波形,(2)=0,即。此时p1,p2为相等的负实数，称为临界阻尼。特征根为,微分方程的通解为,由初始条件,(3)0,即。此时p1,p2为一对共轭复根，称为欠阻尼或衰减振荡。特征根为,式中A和为待定常数。由初始条件,图4.7-3 欠阻尼时的uC和i波形,当R=0时，=0,由上式可知，此时uC和i为等幅振荡。这是由于R=0，电路仅由L、C构成，在振荡过程中不再有能量损耗。该振荡由电路的初始储能所产生，故称为自由振荡。,4.7.2 阶跃响应,若以p1，p2为不相等的负实根为例，其阶跃响应为,由初始条件,解得,当p1=p2=-,临界阻尼时,当p1,2=-jd,欠阻尼时,4.8 正弦激励下一阶电路的响应,图4.8-1 正弦电压源作用于RC电路,图4.8-1(a)所示一阶RC电路，t=0时开关闭合。若电容电压的初始值uC(0)=U0，电压源为,令,图 4.8-2 直角三角形图示,由图可得,若使上式等号两端相等，必须满足,利用初始条件确定常数A，即,t 0,图 4.8-3 uC(t)波形,4.9 小 结,(1)动态元件的VAR是微分或积分关系，如下表所示。,(2)描述动态电路的方程是微分方程。利用KCL,KVL和元件的VAR可列写出待求响应的微分方程。利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。,(3)零输入响应是激励为零，由电路的初始储能产生的响应，它是齐次微分方程满足初始条件的解。零状态响应是电路的初始状态为零，由激励产生的响应，它是非齐次微分方程满足初始条件的解，包含齐次解和特解两部分。假若电路的初始状态不为零，在外加激励电源作用下，电路的响应为完全响应，它等于零输入响应与零状态响应之和。动态电路的响应也可以分为自由响应与强迫响应。对于稳定电路，在直流电源或正弦电源激励下，强迫响应为稳态响应，它与激励具有相同的函数形式。自由响应即为暂态响应，它随着时间的增加逐渐衰减到零。零输入响应和自由响应都是满足齐次微分方程的解，它们的形式相同，但常数不同。零输入响应的待定常数仅由输入为零时的初始条件yx(0+)所确定，而自由响应的待定常数由全响应的初始条件y(0+)所确定。,(4)利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源或阶跃信号作用下的电路响应。三要素公式为,t 0,求三要素的方法为 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。稳态响应y():在直流电源或阶跃信号作用下，电路达到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y()。时常数：RC电路，=RC;RL电路，=L/R。式中R为断开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻。,(5)单位阶跃响应g(t)定义为：在(t)作用下电路的零状态响应。(6)对于二阶电路，只要求了解由于其特征根p1,p2的取值有3种不同的情况，其响应分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼。,