数值分析课件第6章.ppt

第六章解线性代数方程组的迭代法,内容提要6.1 引言6.2 基本迭代法6.3 迭代法的收敛性,即AX=b 其中A为非奇异矩阵，当A为低阶稠密矩阵时，线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)是有效的，但对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A的阶数n很大，但零元素较多），利用迭代法求解是适合的。在计算机内存和运算两方面，迭代通常都可利用A中有大量零元素的特点。,考虑线性方程组,6.1 引言,本章将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。,6.2 基本迭代,一、雅可比迭代法,二、高斯塞德尔迭代法,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,三、逐次超松驰(SOR)迭代法,说明:1)=1,即为GS（高斯-赛德尔迭代法）;2)1，称为超松驰法；1，称为低松驰法；3)SOR方法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵 与向量的乘法。,例6-3 用SOR迭代法解线性代数方程组,6.3 迭代法的收敛性一、一阶定常迭代法的基本定理,注：定理5中的矩阵是迭代矩阵，常用格式的迭代矩阵如下：,1)雅可比迭代法:BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b;2)高斯-赛德尔迭代法:BG=(D-L)-1U，fG=(D-L)-1b;3)SOR迭代法:BSOR=(D-L)-1(1-)D+U，fSOR=(D-L)-1b.,例6-4 考察用雅可比迭代法求解线性方程组,二、某些特殊方程组的迭代收敛性,定义3（1）按行严格对角占优,（2）按行弱对角占优,上式至少有一个不等号严格成立。,定理6(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优，或 按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。,定理7 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对 角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。,定理9 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当02时，SOR迭代收敛。,定理10 对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当01时，SOR迭代收敛。,知识结构图六,迭代法解方程组,迭代法基本概念,高斯-赛德尔迭代法,迭代格式收敛条件（充要条件、充分条件四个）,SQR迭代法,迭代法收敛速度,雅可比迭代法,迭代格式收敛条件（充要条件、充分条件四个）,迭代格式收敛条件（充要条件、必要条件、充分条件五个）,End!,